[A2A]
Insinuación:
Solo voy a llenar los vacíos en una solución ya existente provista por Arsh Khan: Supongamos que el polinomio cuadrático [matemático] P (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemático] tiene coeficientes positivos [matemático] a [/ matemática] , [matemática] b [/ matemática] , [matemática] c [/ matemática] en progresión aritmética en ese orden. Si [math] P (x) = 0 [/ math] tiene raíces enteras [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] , entonces ¿cuál es el valor de [math] \ alpha + \ beta + \ alpha \ beta [/ math] ?
Hacia esto, después de mostrar que [matemática] x ^ 2 + (n + 1) x + (2n + 1) = 0 [/ matemática] tiene raíces enteras solo para [matemática] n = 7. [/ Matemática]
- ¿Cómo puedo derivar la segunda ecuación de movimiento usando cálculo?
- ¿Es posible derivar la fórmula cuadrática de la ecuación ax ^ 2 + bx + c = 0 sin dividir primero ambos lados de la ecuación?
- ¿Cómo puedo averiguar qué ecuación es homogénea?
- ¿Cuáles son las soluciones de 50y-21x = -1?
- ¿Cuál es la ecuación diferencial de parábolas con eje de simetría paralela al eje y y con la distancia desde el vértice al foco fija como P?
Tenemos que [matemáticas] x = \ frac {- (n + 1) \ pm \ sqrt {(n + 1) ^ 2 – 4 (2n + 1)}} {2}. [/ Matemáticas]
Para que [math] x [/ math] sea un número entero, necesariamente [math] (n + 1) ^ 2 – 4 (2n + 1) [/ math] tiene que ser un cuadrado perfecto. Esta no es una condición suficiente ya que la raíz cuadrada del cuadrado perfecto agregado a [matemática] – (n + 1) [/ matemática] debe ser un múltiplo de [matemática] 2 [/ matemática]. Podemos preocuparnos por esto más tarde después de encontrar un conjunto factible de [math] n [/ math] ‘s.
Simplificando y completando los cuadrados obtenemos [matemáticas] (n + 1) ^ 2 – 4 (2n + 1) = (n-3) ^ 2 – 12. [/ Matemáticas]
Ahora deje que [math] (n-3) ^ 2 – 12 = l ^ 2. [/ math] Tenga en cuenta que [math] n [/ math] y [math] l [/ math] son enteros. Entonces [matemáticas] (n-3 + l) (n-3-l) = 12. [/ Matemáticas]
Ahora estamos detrás de dos enteros cuyo producto es [matemática] 12 [/ matemática] tal que [matemática] n [/ matemática] y [matemática] l [/ matemática] son enteros. Esto se satisface con [matemática] n-3-l [/ matemática] siendo [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] n-3 + l [/ matemática] siendo [matemática] 6 [/ matemática], por lo tanto nosotros que [matemáticas] n [/ matemáticas] es [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Para esto [matemática] n = 7, [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] es [matemática] -3 [/ matemática] o [matemática] -5. [/ Matemática]
Así [matemáticas] \ alpha + \ beta + \ alpha \ beta = 7. [/ Matemáticas]
