Si elige una raíz de la función al azar [matemáticas] p (x) = (x ^ 4 + 1989x ^ 3 – 8162742x ^ 2 + 202809800x) (e ^ {2014x} – 1) [\ ln (x – 10069) ] \ tag * {} [/ math] y la función es de [math] \ R [/ math] a [math] \ R [/ math], ¿cuál es la probabilidad de que la raíz que elegiste sea divisible por [math ] 2014 [/ matemáticas]? Exprese su respuesta en porcentaje.

Answer 1

Prefacio: Estoy profundamente preocupado por esos corchetes alrededor del logaritmo. Se establece explícitamente que la función es [matemática] \ R \ to \ R [/ matemática], por lo que me parece que esos no son corchetes, sino un valor absoluto, y el logaritmo se entiende como logaritmo complejo es decir

[matemática] p (x) = (x ^ 4 + 1989x ^ 3 – 8162742x ^ 2 + 202809800x) (e ^ {2014x} – 1) \ left | \ ln (x – 10069) \ right |, [/ math]

donde [matemáticas] \ ln (z) = \ ln \ left | z \ right | + i \ pi [/ math] para [math] z <0 [/ math].

De lo contrario, esos corchetes no tienen sentido, y la función definitivamente no es [math] \ R \ to \ R [/ math]. Entonces supondré que se entiende como un valor absoluto.

---

Una función que se nos da,

[matemática] p (x) = (x ^ 4 + 1989x ^ 3 – 8162742x ^ 2 + 202809800x) (e ^ {2014x} – 1) \ left | \ ln (x – 10069) \ right |, [/ math]

Tiene algunas raíces. Las raíces de una función son básicamente puntos donde el valor de la función es [matemática] 0 [/ matemática].

Entonces, necesitamos resolver la ecuación

[matemática] (x ^ 4 + 1989x ^ 3 – 8162742x ^ 2 + 202809800x) (e ^ {2014x} – 1) \ left | \ ln (x – 10069) \ right | = 0 [/ math]

y encuentre qué raíces son divisibles por [matemáticas] 2014 [/ matemáticas], básicamente. Bueno esta bien. Sin embargo, primero factoricemos [math] x [/ math] a partir de los primeros paréntesis.

[matemáticas] x (x ^ 3 + 1989x ^ 2 – 8162742x + 202809800) (e ^ {2014x} – 1) \ left | \ ln (x – 10069) \ right | = 0 [/ math]

Entonces, la expresión completa es [matemática] 0 [/ matemática] si alguno de sus factores es [matemática] 0 [/ matemática], y esta ecuación se divide en lo siguiente:

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 1989x ^ 2 – 8162742x + 202809800 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ exp (2014 x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left | \ ln (x – 10069) \ right | = 0 [/ matemáticas]

Las últimas dos ecuaciones nos dan [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 10070 [/ matemáticas]. Todo lo que queda es una ecuación cúbica.

Ya he discutido la solución de ecuaciones cúbicas como esta. [1]

En última instancia, tenemos tres raíces reales para la ecuación cúbica,

[matemáticas] x = 2014 [/ matemáticas], [matemáticas] x = 25 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = -4028 [/ matemáticas]

Para resumir, tenemos las siguientes raíces:

[matemática] x = 0 [/ matemática] (con multiplicidad [matemática] 2 [/ matemática])

[matemáticas] x = 2014 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -4028 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 10070 [/ matemáticas]

De estas raíces [matemáticas] 5 [/ matemáticas], todas excepto [matemáticas] x = 25 [/ matemáticas] son ​​divisibles por [matemáticas] 2014 [/ matemáticas].

Ahora aquí hay una parte difícil. Técnicamente, la raíz múltiple sigue siendo una sola raíz. Pero se podría argumentar que si elige raíces al azar, tiene el doble de posibilidades de elegir la raíz doble [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], en comparación con todas las demás.

Entonces, dependiendo de eso, la respuesta es [matemática] 4/5 [/ matemática] o [matemática] 5/6 [/ matemática], o [matemática] 80 \% [/ matemática] y [matemática] 83. ( 3) \% [/ matemáticas] respectivamente. A juzgar por el hecho de que la pregunta parece estar explícitamente diseñada para números “agradables” (por ejemplo, todas las raíces cúbicas no son solo racionales, sino enteras, lo cual es una rareza extrema), supongo que deberíamos contar [matemáticas] x = 0 [/ math] una vez , por lo tanto, la respuesta final es [math] 80 \% [/ math].

Notas al pie

[1] Respuesta de Nikolay Yakimov a ¿Cómo encuentras los valores de x en x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3 = 0?

Answer 2

Jessica Star dio una respuesta completamente correcta aquí, y probablemente sea la deseada, pero es posible que el autor de la pregunta no se haya dado cuenta de que algunas de las raíces aparentes se encuentran fuera del dominio de definición de [math] p [/ math ]

(EDITAR: el usuario ahora está prohibido y la respuesta se ha ido. La clave es que la función [matemáticas] p [/ matemáticas] es un producto de un polinomio con cuatro raíces enteras [matemáticas] 0, 25, 2014 [/ matemáticas] y [matemática] -4028 [/ matemática], un factor exponencial con una sola raíz en [matemática] x = 0 [/ matemática], y un factor logarítmico con una única raíz en [matemática] x = 10070 [/ matemática]. la respuesta ingenua sería que hay cinco raíces de las cuales cuatro son divisibles entre [matemáticas] 2014 [/ matemáticas], pero en realidad todas las raíces candidatas excepto [matemáticas] 10070 [/ matemáticas] están fuera del dominio donde se define esta función).

Si me hubieran dado este problema, habría buscado a la persona que lo escribió y les habría regañado. La pregunta plantea “y la función es de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math]”, pero no lo es. Esta función solo produce un número real cuando [math] x> 10069 [/ math], y no produce ningún valor real para otros valores de [math] x [/ math]. ¿Cuál es el punto de mentirle al estudiante y decirle que es de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math]?

No tengo forma de saber si el autor de la pregunta no entendió su propia pregunta, o escribió una declaración falsa en un intento deliberado de confundir, o piensa que una función “de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math] “significa” una función de algún subconjunto de [math] \ mathbb {R} [/ math] que necesita averiguar, a [math] \ mathbb {R} [/ math] “.

Es un hábito común y molesto escribir funciones sin especificar su dominio y codominio, pero aquí se especifican de una manera que contradice la definición misma de la función.

Es una pregunta realmente terrible.

Answer 3

Entonces, las raíces de esta función son cuando [math] p (x) = 0 [/ math]. Al ver que en su mayor parte ha tenido esto en cuenta, podemos configurar estos:

[matemáticas] \ displaystyle 0 = (x ^ 4 + 1989 {x} ^ {3} – 8162742 {x} ^ {2} + 202809800x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 0 = {e} ^ {2014x} – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 0 = \ ln (x – 10069) [/ matemáticas]

Resolviéndolos por raíces:

[matemáticas] \ displaystyle 0 = (x ^ 4 + 1989 {x} ^ {3} – 8162742 {x} ^ {2} + 202809800x) [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = x (x ^ 3 + 1989 {x} ^ {2} – 8162742x + 202809800) [/ matemáticas]

Suponiendo que sabe cómo resolver ecuaciones cúbicas, obtenemos nuestras 4 raíces para esta ecuación cuántica como:

[matemáticas] \ displaystyle x = 0, 2014, 25, -4028 [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ displaystyle {e} ^ {2014x} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2014x = 0 [/ matemáticas] (tomando el logaritmo natural de ambos lados)

[matemáticas] \ displaystyle x = 0 [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ displaystyle \ ln (x – 10069) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle x – 10069 = 1 [/ matemática] (levantó ambos lados con una base de [matemática] e [/ matemática], luego simplificó)

[matemáticas] \ displaystyle x = 10070 [/ matemáticas]

---

En total, nuestras raíces son [matemáticas] 0 [/ matemáticas] (dos veces), [matemáticas] 10070, 2014, 25, [/ matemáticas] y [matemáticas] -4028 [/ matemáticas].

Por simple inspección, podemos ver que todas las raíces, excepto [matemáticas] 25 [/ matemáticas] son ​​divisibles por [matemáticas] 2014 [/ matemáticas].

Si está contando [matemática] 0 [/ matemática] como raíz una vez (probablemente), entonces la respuesta es simplemente [matemática] \ frac {4} {5} [/ matemática] o [matemática] 80 [/ matemática] por ciento .

Si lo cuenta dos veces, la respuesta es [matemática] \ frac {5} {6} [/ matemática] o [matemática] 83.3333 … [/ matemática] por ciento.

Espero que esto haya ayudado.

Answer 4

La ecuación anterior tiene 10070 como raíz. ¿Es divisible? Si.

Otras posibles raíces serán x1, …, x4, con (x-x1) … (x-x4) = x ^ 4 +… + –1 = 0

Entonces, el producto de las raíces es -1, y ninguno puede ser divisible para 2014.

La última raíz es 0, y es divisible por 2014.

Entonces, 6 raíces, que 2 son divisibles, por lo tanto p = 1/3.

PD: Me di cuenta de que leí mal el polinomio, pero se entiende la idea.

Answer 5

Tendría que usar una computadora para resolver la ecuación primero y luego verificar las raíces para la divisibilidad por 2014. Si n de las raíces son divisibles por 2014 donde n está en [matemáticas] {0,1,2,3,4} [ / matemática] entonces la probabilidad de que uno escogido al azar de las cuatro raíces sea divisible por 4 es [matemática] (n / 4) x 100%.