Cómo resolver [math] \ displaystyle x (t) = \ int_ {0} ^ {t} \ frac {x (s)} {| x (s) | ^ 3} ds + 5 [/ math]

Answer 1

Primero observe que [matemáticas] \ displaystyle \ frac {x (s)} {| x (s) | ^ 3} = \ frac {x (s)} {(x (s)) ^ 2 \ cdot | x (s ) |} = \ frac {1} {x (s) | x (s) |} [/ math].

Entonces [matemática] \ displaystyle x (t) = \ int \ limits_0 ^ t \ frac {x (s)} {| x (s) | ^ 3} ds + 5 = \ int \ limits_0 ^ t \ frac {ds} {x (s) | x (s) |} +5 [/ matemáticas].

Además, observe que evaluar en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] nos muestra que [matemáticas] x (0) = 5 [/ matemáticas].

Al diferenciar nuestra expresión implícita para [math] x (t) [/ math], encontramos que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dx} {dt} = \ frac {1} {x (t) | x (t) |} [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica x | x | \, dx = dt [/ math]

[matemática] \ displaystyle \ implica \ int x | x | \, dx = \ int dt [/ math]

La integral en el LHS se puede integrar fácilmente dejando [math] u = | x | [/ math], mostrándonos que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 2 | x |} {3} = t + C [/ matemáticas]

Usando el hecho de que [matemática] x (0) = 5 [/ matemática] implica que [matemática] C = \ frac {5 ^ 3} {3} [/ matemática], y desde [matemática] x ^ 2 | x | = | x | ^ 3 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {| x | ^ 3} {3} = t + \ frac {5 ^ 3} {3} [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica x (t) = \ pm \ sqrt [3] {3t + 5 ^ 3} [/ math]

Answer 2

Esta respuesta es más teórica que práctica, ya que s & t parece variables no relacionadas. Sin embargo, pasemos a la parte teórica.

Desea integrarse con respeto con t en función de su valor límite en el signo integral, pero lamentablemente, no escribió dt, sino que escribió ds. ¡¡¿¿Por qué??!!

Answer 3

Llorar. Llorar y las cosas comenzarán a aclararse.