¿[Matemáticas] a ^ {\ frac {b} {c}} [/ matemáticas] significa lo mismo que [matemáticas] \ sqrt [c] {a ^ b} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ sqrt [c ] {a} ^ b [/ math], ¿o no importa?

Answer 1

En realidad, es una pregunta más complicada de lo que podría parecer de inmediato.

Dicho esto, como otros han señalado: para números reales positivos , no importa en lo más mínimo; son iguales.

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Sin embargo, para números complejos más generales , las cosas se ponen mucho más difíciles. ¡Esto se debe a que la operación “enésima raíz” ya no tiene una definición obvia!

Obtiene lo que se llama un “corte de rama” o, de manera equivalente, una función de valores múltiples. Suponiendo que [math] c [/ math] es un número entero en la expresión anterior, ¡terminaría con [math] c [/ math] posibles raíces!

El conjunto total de estos no variará entre sus dos opciones, por lo que, en ese sentido, no importa.

Sin embargo, para cualquier convención en particular para elegir una raíz en particular , debe tener cuidado y asegurarse de que sea consistente. [De hecho, esto es lo que hacemos cuando elegimos la “raíz real positiva” de los números reales positivos: ¡estamos haciendo una elección convencional! Sucede que esta elección siempre es coherente cuando se restringe a ese dominio.]

Por lo tanto, en general sobre los números complejos (o incluso para los números negativos), mi respuesta es “consulte su convención” (por ejemplo, tomando una raíz principal).

Answer 2

En realidad, [matemáticas] a ^ \ frac {b} {c} [/ matemáticas] no es lo mismo que [matemáticas] \ sqrt [c] {a ^ b} [/ matemáticas] ni [matemáticas] (\ sqrt [c] {a}) ^ b [/ matemáticas].

1. Considere b = c = -1 y a = 0. Claramente [math] 0 ^ 1 = 0 [/ math], sin embargo, [math] \ sqrt [-1] {0 ^ {- 1}} [/ math] no está definido en [math] \ mathbb {C} [/ math ] (definido en la esfera de Riemann). Esto significa que ninguno de los formularios con [math] \ sqrt [-1] {} [/ math] son ​​correctos.
2. Considere b = c = 2 y a = -1. Para [math] \ mathbb {C} [/ math] obtenemos [math] (- 1) ^ \ frac {2} {2} = (- 1) ^ 1 = -1 [/ math]. Sin embargo, [math] \ sqrt {(- 1) ^ 2} = 1 [/ math], por lo que este formulario no es bueno. En este caso particular, parece que [math] (\ sqrt {-1}) ^ 2 = i ^ 2 = -1 [/ math] da mejores resultados, pero calcular [math] \ sqrt {-1} [/ math ] no es legal en [math] \ mathbb {R} [/ math].

Siempre puede definir algún tipo de forma canónica, donde:

1. c siempre es positivo
2. si byc son racionales, entonces deben ser enteros.
3. si byc son enteros, entonces no tienen un divisor común que no sea 1.

Limitando a esta forma canónica, parece que no hay diferencia entre las alternativas.

Answer 3

Escribir [matemáticas] \ sqrt [c] {a ^ b} [/ matemáticas] es equivalente a escribir [matemáticas] (a ^ b) ^ {1 / c} [/ matemáticas]. Usando la regla que [matemática] (x ^ y) ^ z = x ^ {yz} [/ matemática], podemos ver que [matemática] (a ^ b) ^ {1 / c} = a ^ {b / c }[/matemáticas].

Del mismo modo, [math] \ sqrt [c] {a} ^ b [/ math] es equivalente a [math] (a ^ {1 / c}) ^ b [/ math], y así, aplicando la misma regla anterior , es igual a [matemáticas] a ^ {b / c} [/ matemáticas].

Por lo tanto, las tres expresiones son equivalentes.

Answer 4

No importa.

[matemáticas] \ begin {align *} a ^ {\ frac {b} {c}} = \ sqrt [c] {a ^ b} \ qquad \ text {o} \ qquad (\ sqrt [c] {a} ) ^ b \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

En realidad, estás describiendo una propiedad de radicales y exponentes.

Answer 5

[math] \ sqrt [c] {a ^ b} [/ math] y [math] \ sqrt [c] {a} ^ b [/ math] son ​​lo mismo.

Supongamos que ‘a’ sea 4, ‘b’ sea ‘5’ y ‘c’ sea 3.

Raíz cúbica ‘3’ elevada a la potencia [matemática] 4 ^ 5 [/ matemática] y raíz cúbica ‘3’ elevada a la potencia ‘4’ toda la potencia 5. Son (ignorando la raíz cúbica en los mismos dos valores) 1024 y 1024.

Answer 6

No importa:
[matemáticas] (a ^ b) ^ c = a ^ {b × c} [/ matemáticas]
Y, por supuesto, [matemáticas] b × \ frac {1} {c} = \ frac {b} {c} = \ frac {1} {c} × b [/ matemáticas]. Simplemente elija un estilo y manténgalo y tenga cuidado en general [matemáticas] (a \ pm b) ^ c \ ne a ^ c \ pm b ^ c [/ matemáticas]. Esto se aplica a las raíces en particular.

Answer 7

Tenemos muchas formas de representar nuestra respuesta y esto no afecta la propiedad y el comportamiento de la respuesta de la forma en que estamos escritos.

Estos tres son iguales.