Cuando encontré la pregunta, la función decía “\ log_e {\ cos ^ {- 1} {\ dfrac {1}} {\ sqrt {x}}}” y no se procesó. Intenté leerlo como [math] \ log_e \ left [\ cos ^ {- 1} \ left (\ dfrac {1} {\ sqrt {x}} \ right) \ right] [/ math], luego alguien lo editó en [math] \ dfrac {1} {\ sqrt x} [/ math], luego se editó en [math] \ cos ^ {- 1} \ dfrac {1} {\ sqrt x} [/ math] y finalmente a [matemáticas] \ log_e \ cos ^ {- 1} \ dfrac {1} {\ sqrt x} [/ matemáticas], que es esencialmente lo que escribí, con algunos paréntesis eliminados. Luego se convirtió en [matemáticas] \ log_e (\ cos ^ {- 1} \ dfrac {1} {\ sqrt x}) [/ matemáticas] mientras escribía la última oración, luego [matemáticas] \ log_e (\ cos ^ {- 1} (\ dfrac {1} {\ sqrt x})) [/ math] luego [math] \ log_e (\ cos ^ {- 1} \ {\ dfrac {1} {\ sqrt x}) \} [/ math] luego [math] \ log_e (\ cos ^ {- 1} \ {\ dfrac {1} {\ sqrt x} \}) [/ math]. Deje de alterar esta pregunta, tenga en cuenta que los corchetes suelen ir más hacia afuera que los corchetes que van más hacia afuera que los paréntesis (es decir, [matemática] \ {[()] \} [/ matemática]), y que las fracciones en línea NO deben ser \ dfrac , y si usa \ dfrac, debe hacer que sus paréntesis sean altos con \ left y \ right.
Con todo eso fuera del camino, déjame manejar a esa bestia. En primer lugar, lo dividimos en una composición de tres funciones. De hecho, si:
[matemáticas] f_1 (x): = \ log_ex, \ qquad f_2 (x): = \ cos ^ {- 1} (x), \ qquad f_3 (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt x}, [ /matemáticas]
entonces evidentemente:
- Cómo mostrar d / dx [(e ^ x) -1] / x = 1
- ¿Qué es [matemáticas] 2 ^ {1000000} [/ matemáticas]?
- ¿Cómo podemos demostrar que 0 ^ 0 = 1?
- ¿Cuál es el valor de 5 / 5a cuando a = 10? ¿Es la respuesta 1 o 0.1?
- Estás atrapado dentro de un espacio de 5 x 5 x 5. Todo el interior está hecho de acero de 5 millas de espesor. No tienes poderes especiales u otros objetos y eres lo único en la sala. Necesita escapar dentro de 1 hora. ¿Puedes encontrar al menos 8 lagunas?
[matemáticas] f (x) = f_1 \ circ f_2 \ circ f_3 (x). [/ matemáticas]
Entonces solo tenemos que aplicar la regla de composición varias veces. Primero, recordemos los tres derivados:
[matemáticas] f_1 ′ (x) = \ frac1x, \ qquad f_2 ′ (x) = – \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}, \ qquad f_3 ′ (x) = – \ frac { 1} {2 \ sqrt {x ^ 3}}. [/ Math]
Esto supone que por [matemáticas] \ cos ^ {- 1} [/ matemáticas] te refieres a los arcos, y no a [matemáticas] \ frac {1} {\ cos x} [/ matemáticas], de lo contrario esa función sería la composición de 4 funciones [matemática] g_1 = f_1, g_2 (x) = \ frac1x, g_3 (x) = \ cos x, g_4 = f_3 [/ math], para que pueda manejar eso de una manera similar a lo que haré ahora . Ahora aplicamos la regla de composición:
[matemáticas] \ begin {align *} (f_1 \ circ f_2 \ circ f_3) ‘(x) = {} & f_1 ′ (f_2 \ circ f_3 (x)) \ cdot (f_2 \ circ f_3)’ (x) = { } \\ {} = {} & f_1 ′ (f_2 \ circ f_3 (x)) \ cdot f_2 ′ (f_3 (x)) \ cdot f_3 ′ (x) = {} \\ {} = {} & \ frac { 1} {f_2 \ circ f_3 (x)} \ cdot \ left (- \ frac {1} {\ sqrt {1- (f_3 (x)) ^ 2}} \ right) \ cdot \ left (- \ frac { 1} {2 \ sqrt {x ^ 3}} \ right) = {} \\ {} = {} & \ frac {1} {\ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {1} {\ sqrt x} \ right)} \ cdot \ frac {1} {\ sqrt {1-x}} \ cdot \ frac {1} {2 \ sqrt {x ^ 3}}. \ end {align *} [/ math]
ACTUALIZACIÓN: Se corrigió el error de corchete mientras escribía la respuesta o corrigía los errores del código matemático en la pantalla final. Me deshice de la \ dfrac yo mismo.