Si [matemática] a, b, c \ in \ mathbb {R} [/ matemática] y [matemática] a <b [/ matemática], entonces ¿cómo demuestra que [matemática] a + c <b + c [/ matemáticas]?

Answer 1

Necesitará una definición o axiomas para “menos de” para comenzar. Sin eso, no puede distinguir “menos que” de ningún otro predicado binario, y no podrá probar nada al respecto.

Una cosa típica para hacer es definir “menos que” en términos de “positivo”. Defina [math] x <y [/ math] como significado [math] yx [/ math] es positivo.

Es sorprendente que no necesite ningún axioma de positividad para probar la afirmación en consideración. (Se enumeran a continuación, y son necesarios para probar otras propiedades de “menor que”).

Teorema. [matemática] a <b [/ matemática] implica [matemática] a + c <b + c [/ matemática].

Prueba : supongamos que [matemática] a <b [/ matemática]. Eso significa que [math] ba [/ math] es positivo. Pero [math] ba = (b + c) – (a + c) [/ math] es positivo. Por lo tanto, [matemáticas] (b + c) – (a + c) [/ matemáticas] es positivo. Y eso implica [matemáticas] a + c <b + c [/ matemáticas]. QED

Estos son los tres axiomas de positividad utilizados para definir un campo ordenado:

1. Tricotomía : cada elemento en el campo es positivo, 0, o su negación es positiva, y ocurre exactamente una de estas tres posibilidades.
2. La suma de dos elementos positivos es positiva.
3. El producto de dos elementos positivos es positivo.

Answer 2

¿Probarlo en términos de qué, exactamente?

Este es un aspecto de lo que hace que los números reales sean un campo ordenado. Puede apelar a eso como parte de la definición de los números reales.

Es un poco tedioso, pero puedes demostrar (construyendo los números reales como cortes de Dedekind de los números racionales, o mediante la finalización analítica de los números racionales) que se deriva de la misma propiedad de los números racionales. O puede retroceder más, verificando las relaciones de orden en los números racionales en términos de su construcción a partir de los enteros.

Y así sucesivamente, hasta que obtenga el orden de los números naturales inducidos por la función sucesora.

Por donde quieres empezar

Answer 3

Bueno, los números reales son un campo matemático ordenado.

Que [matemáticas] a \ lt b \ implica a + c \ lt b + c [/ matemáticas]

es uno de los axiomas de definición de dicho campo.

Actualización: esto no trata un campo general, solo uno ordenado. Gracias Alan Bustany por señalar este error.

Answer 4

Si reescribimos b para que sea una constante más a, obtendríamos eso:

b = a + k (donde k es un número positivo)

Sustituyendo en a

a

Esta afirmación definitivamente es cierta si k es un número positivo. Entonces podemos cambiar la otra declaración (a + c

a + c

Ahora podemos simplificar y obtener que k tiene que ser mayor que 0 (0