¿Cómo puedo mostrar que [math] \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}} + \ sqrt {n}} – \ sqrt {n} [/ math] es correcto?

Answer 1

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Let} L & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}} } – \ sqrt {n} \ right) \\ & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}} }} – \ sqrt {n} \ right) \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} + \ sqrt {n} \ right)} {\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} + \ sqrt {n}} \\ & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ left (\ sqrt { n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} \ right) ^ 2 – \ left (\ sqrt {n} \ right) ^ 2} {\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} + \ sqrt {n}} \\ & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}} – n} {\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} + \ sqrt {n}} \\ & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} {\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} + \ sqrt {n}} \ end {align} [/ math]

Dividiendo la parte superior e inferior por [math] \ sqrt {n} [/ math] obtenemos:

[matemáticas] L = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sqrt {1 + \ frac {1} {n} \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} {\ sqrt {1 + \ frac {1} {n} \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Now} \ frac {1} {n} \ sqrt {n + \ sqrt {n}} & = \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 2} \ left ( n + \ sqrt {n} \ right)} \\ & = \ sqrt {\ frac {1} {n} + \ frac {1} {n \ sqrt {n}}} \ a 0 \ text {as} n \ to \ infty \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ text {And} \ frac {1} {n} \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}} & = \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 2} \ left (n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}} \ right)} \\ & = \ sqrt {\ frac {1} {n} + \ frac {1} {n ^ 2} \ sqrt {n + \ sqrt {n}}} \\ & = \ sqrt {\ frac {1} {n} + \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 4} \ left (n + \ sqrt {n} \ right)}} \\ & = \ sqrt {\ frac {1} {n} + \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 3} + \ frac {1} {n ^ 3 \ sqrt {n}} }} \ to 0 \ text {as} n \ to \ infty \ end {align} [/ math]

[matemática] \ por lo tanto L = \ displaystyle \ frac {\ sqrt {1 + 0}} {\ sqrt {1 + 0} + 1} = \ boxed {\ scriptsize \ frac {1} {2}} [/ math]

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Observe que todas las raíces “múltiples” de [matemáticas] n [/ matemáticas] después de la primera desaparecen aquí como [matemáticas] n \ a \ infty [/ matemáticas], lo que significa que hace muy poca diferencia qué combinación de “múltiples” raíces que tenemos Por lo tanto, por el mismo razonamiento, vemos que:

• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n}} – \ sqrt {n} \ right) = \ scriptsize \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}} – \ sqrt {n} \ right) = \ scriptsize \ frac {1 } {2} [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} – \ sqrt {n} \ right) = \ scriptsize \ frac {1} {2} [/ math]
• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}}} – \ sqrt { n} \ right) = \ scriptsize \ frac {1} {2} [/ math]
• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} }} – \ sqrt {n} \ right) = \ scriptsize \ frac {1} {2} [/ math]
• etc …