Si [math] H [/ math] y [math] G [/ math] son ​​subgrupos de [math] G [/ math], ¿cómo demuestro que [math] H \ cap G [/ math] es un subgrupo de [matemáticas] G [/ matemáticas]?

Answer 1

Esta es la clásica pregunta matemática del tipo “girar la manivela”. No quiero denigrarlo. Hay una cierta habilidad, es decir, dificultad, de simplemente tomar una lista de cosas y examinarla.

¿Cómo haces esta pregunta? No lo pienses demasiado. ¿Qué significa ser un grupo? Hay una operación binaria que satisface algunas propiedades. Encuentre una operación binaria en [math] H \ cap G [/ math] que tenga esas propiedades. (Sugerencia: la operación binaria que encuentre probablemente sea la única que se encuentre … la heredada de [math] G [/ math].)

Este problema no es difícil en el sentido de requerir creatividad. Pero puede ser difícil porque es muy evidente. Así que solo ve a través de los axiomas.

Solo para darle uno de ellos, demostrará que hay un elemento de identidad en [math] H \ cap G [/ math]. Llame a [math] e [/ math] el elemento de identidad del grupo [math] G [/ math]. Hay un elemento de identidad único en un grupo (pruebe esto si aún no lo ha hecho), y [matemáticas] H [/ matemáticas] es un subgrupo de [matemáticas] G [/ matemáticas], entonces [matemáticas] e \ en H [ /matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] e \ en H \ cap G [/ matemáticas]. Además, si [matemática] h \ en H \ cap G [/ matemática], entonces necesariamente [matemática] eh = h [/ matemática]. ¿Por qué? Porque [matemática] eh = h [/ matemática] en [matemática] G [/ matemática], y [matemática] H [/ matemática] es un subgrupo de [matemática] G [/ matemática].

Haz este tipo de cosas con los otros axiomas grupales y listo. Casi puedes desconectar tu cerebro … lo que podría dificultarlo.

Answer 2

¿Está seguro de que escribió los símbolos en su pregunta correctamente?

Dado que [matemáticas] G = G [/ matemáticas] y [matemáticas] H \ subconjunto G [/ matemáticas], a partir de las definiciones absolutamente básicas de la teoría de conjuntos,

[matemáticas] H \ cap G = H [/ matemáticas].

Y su pregunta ya menciona que [matemáticas] H [/ matemáticas] es un subgrupo de [matemáticas] G [/ matemáticas].

Answer 3

Asumiré que te referías a H y K, no a H y G, ya que G es el grupo en cuestión.

Pensemos en lo que necesitamos mostrar para verificar que [math] H \ cap K [/ math] es un subgrupo de G.

Primero debemos verificar que la identidad esté presente en [math] H \ cap K [/ math]. Esto es claramente cierto ya que H y K son subgrupos de G (recuerde que ser un subgrupo significa que contiene la identidad del grupo original).

Luego, debemos verificar que [math] H \ cap K [/ math] esté cerrado bajo la operación binaria. De nuevo, esto es bastante sencillo. Deje [math] x, y \ en H \ cap K [/ math]. Considere [matemáticas] xy [/ matemáticas]. Dado que tanto x como y están en H y H es un subgrupo de G, [matemáticas] xy \ en H [/ matemáticas]. Dado que tanto x como y están en K y K es un subgrupo de G, [math] xy \ en K [/ math]. Por lo tanto, [math] xy \ en H \ cap K [/ math] y [math] H \ cap K [/ math] está cerrado.

Por último, debemos verificar que para todos [math] x \ en H \ cap K [/ math], exista un [math] x ^ {- 1} \ en H \ cap K [/ math]. Como [math] x \ en H [/ math] y como H es un subgrupo de G, [math] x ^ {- 1} \ en H [/ math]. Como [math] x \ en K [/ math] y como K es un subgrupo de G, [math] x ^ {- 1} \ en K [/ math]. Por lo tanto, para todos [math] x \ en H \ cap K [/ math], existe un [math] x ^ {- 1} \ en H \ cap K [/ math].

Como se satisfacen las tres propiedades, [math] H \ cap K \ leq G [/ math]. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Alternativamente, podría haber verificado que si [math] x, y \ en H \ cap K [/ math], entonces [math] xy ^ {- 1} \ en H \ cap K [/ math]. Simplemente prefiero el método de tres pasos.