Si C: | z | = 3/2, evalúe la integral sobre C de (e ^ {- 2z}) / (z-1) ^ 3?

Answer 1

Nuestro contorno es [matemática] | z | = \ frac {3} {2} [/ matemática], utilizamos la fórmula integral de Cauchy

[matemáticas] {\ displaystyle \ oint} \ frac {f (z)} {(z-z_0) ^ {n + 1}} dz [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {2 \ pi i} {n! } f ^ {n} (z_0) [/ math] para una función analítica [math] f (z) [/ math] donde el contorno es simple y cerrado y [math] f ^ n (z) [/ math] denota la enésima derivada de [math] f (z) [/ math].

En este caso tenemos [matemáticas] {\ displaystyle \ oint_ {| z | = \ frac {3} {2}}} \ frac {e ^ {- 2z}} {(z-1) ^ 3} dz [/ matemáticas]

tenemos una singularidad en [math] 1 [/ math] dentro del contorno, así que obtenemos

[matemáticas] {\ displaystyle \ oint_ {| z | = \ frac {3} {2}}} \ frac {e ^ {- 2z}} {(z-1) ^ 3} dz = \ frac {2 \ pi i} {2!} f ” (z_0). [/ math]

Diferenciando dos veces obtenemos [matemáticas] \ frac {d ^ 2f (z)} {dz ^ 2} = 4e ^ {- 2z} [/ matemáticas].

Evaluando la segunda derivada en [math] z_0 [/ math] obtenemos

[matemáticas] {\ displaystyle \ oint_ {| z | = \ frac {3} {2}}} \ frac {e ^ {- 2z}} {(z-1) ^ 3} dz = \ frac {4 \ pi i} {e ^ 2}. [/ matemáticas]