¿Por qué se eligió la raíz cuadrada de -1 para que sea igual a i? ¿No se pudo usar una raíz positiva como la cuarta raíz?

Answer 1

Esa es una pregunta muy interesante.

Para responder primero a la segunda parte: sí, en su lugar podría usarse cualquier raíz positiva.

En cierto punto en el desarrollo de las matemáticas, se dio cuenta de que había algo anómalo en las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] de los números reales. Parecía que “para completar” cada número distinto de cero realmente debería tener [matemáticas] n [/ matemáticas] distintas [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces. Sin embargo, cuando [matemática] n = 2 [/ matemática], aunque todos los números positivos tenían las dos raíces esperadas [matemática] 2 [/ matemática] (llamadas “raíces cuadradas”), los números negativos parecían no tener ninguno. Y cuando [math] n = 3 [/ math], los números positivos y negativos por igual tenían solo una [math] 3 [/ math] rd root (o “raíz cúbica”) en lugar de las tres esperadas. Cuando [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas], los números positivos tenían dos raíces [matemáticas] 4 [/ matemáticas] en lugar de cuatro, mientras que los números negativos nuevamente no tenían ninguno. Y cuando [matemática] n = 5 [/ matemática], los números positivos y negativos por igual tuvieron nuevamente una raíz [matemática] 5 [/ matemática].

Los matemáticos comenzaron a descubrir que podría ser útil, al resolver ciertos tipos de problemas, imaginar que las raíces “faltantes” realmente existían: si estos valores “imaginarios” se usaban como si existieran en los cálculos, a menudo se obtenían resultados válidos en Al final, aunque parecía requerir el uso de raíces inexistentes durante el proceso. En poco tiempo, se necesitaba alguna forma de escribir estos valores “imaginarios”. Pero esto es cuando se hizo un descubrimiento bastante sorprendente: no era necesario inventar un sistema numérico completamente nuevo para atender estas raíces faltantes: resultó que si simplemente elegía CUALQUIERA de los valores “faltantes” y los agregaba como nuevo número “imaginario”, TODO EL RESTO de los valores “perdidos” ahora podría escribirse en términos de los números reales existentes y ese nuevo valor “imaginario”. Extender la recta numérica “real” unidimensional en un plano numérico “complejo” bidimensional fue suficiente para proporcionar todas las raíces esperadas de todos los números esperados.

Ahora para responder a la primera parte: hay varias buenas razones por las cuales la raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] hizo una elección natural y útil para ser el nuevo valor “imaginario”, pero, al final, fue realmente en gran parte a la suerte.

Resultó que las raíces cuadradas y las raíces cúbicas estaban siendo exploradas e investigadas cuando las raíces “faltantes” comenzaron a ser problemáticas, y las raíces cuadradas son quizás las raíces “más simples”, por lo que era natural comenzar tratando de completar soluciones para todos Las raíces cuadradas. Como se señaló anteriormente, todos los números reales positivos ya tienen dos raíces cuadradas, por lo que solo faltan los números reales negativos. La raíz cuadrada de cualquier número negativo podría haberse elegido: [math] \ sqrt {-4} [/ math], o [math] \ sqrt {-10000} [/ math], o [math] \ sqrt {- \ pi} [/ math], o cualquier cosa. Sin embargo, [matemática] 1 [/ matemática] es la identidad multiplicativa y, por lo tanto, tal vez la más “simple” de todos los números al considerar sus raíces. Entonces [math] \ sqrt {-1} [/ math] hizo una útil adición “imaginaria” a los números reales, ya que era fácil escribir todo tipo de otras raíces faltantes en términos de esto: [math] \ sqrt {- 4} = \ sqrt {4} \ sqrt {-1} = 2 \ sqrt {-1} [/ matemáticas], [matemáticas] \ sqrt {-10000} = \ sqrt {10000} \ sqrt {-1} = 100 \ sqrt {-1} [/ math] y [math] \ sqrt {- \ pi} = \ sqrt {pi} \ sqrt {-1} [/ math], etc.

Pero sí, podría haber sido cualquier cosa que se agregó. Podríamos haber elegido [math] i [/ math] para ser [math] \ sqrt [4] {- 1} [/ math] o [math] \ sqrt [5] {- pi} [/ math] o uno de los valores no reales de [math] \ sqrt [3] {1} [/ math]. Sin embargo, [math] \ sqrt {-1} [/ math] fue una elección bastante sensata y pragmática. En realidad, probablemente sea injusto de mi parte afirmar que la elección se debió en gran medida a la suerte: la notación de [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] es, creo, generalmente atribuida a Gauss, por lo que fue realmente ¡A Gauss en lugar de a la suerte, y así se une a una lista justa de convenciones matemáticas y entendemos que podemos agradecer a Gauss!

Answer 2

¿Por qué se eligió la raíz cuadrada de -1 para que sea igual a I? ¿No se pudo usar una raíz positiva como la cuarta raíz?

Lo tienes al revés.

En el siglo XVI, los matemáticos italianos del Ferro, Tartaglia y Cardano estaban trabajando para resolver ecuaciones cúbicas. En los métodos con los que trabajaban, se trataba de elaborar cuidadosamente una ecuación cuadrática basada en la ecuación cúbica original, resolverla y luego usar las soluciones a la ecuación cuadrática para construir soluciones a la ecuación cúbica original.

El problema con el que se encontraron fue que, si bien cada ecuación cúbica tiene (al menos) una solución, no todas las ecuaciones cuadráticas tienen. Entonces, cuando la ecuación cuadrática cuidadosamente elaborada resulta no tener una solución, y todo el esquema se desmorona. Si está familiarizado con la ecuación cuadrática, sabe que tiene una expresión de [math] \ sqrt {b ^ 2-4ac} [/ math], y cuándo [math] b ^ 2 <4ac [/ math] , entonces esto se convierte en la raíz cuadrada de un número negativo, y esos no existen.

Tartaglia y del Ferro, aparentemente de manera independiente, descubrieron que si ignoraban el hecho de que las raíces cuadradas no tienen números negativos, entonces podrían llevar a cabo las matemáticas de su esquema y terminar con soluciones que funcionen. Las raíces cuadradas de los números negativos se cancelan, dejando una solución completamente desprovista de cualquier raíz cuadrada de números negativos.

Cardano convenció a Tartaglia de compartir su solución, bajo la promesa de no publicarla. Luego encontró una versión inédita de la solución de del Ferro y la publicó de todos modos.

Entonces, la idea de usar las raíces cuadradas de los números negativos existía antes que la idea de [math] i [/ math] como un número. La letra [math] i [/ math] fue elegida para representar estas raíces cuadradas.

Otras raíces de -1 son expresables en términos de [matemáticas] i [/ matemáticas] con bastante facilidad: [matemáticas] \ sqrt [4] {- 1} = \ frac {1 + i} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] por ejemplo. También hay múltiples soluciones para [math] \ sqrt [4] {- 1}. [/ Math]

Answer 3

Veamos los números complejos en términos de coordenadas polares: cada número complejo tiene una magnitud [matemática] | r | [/ matemática] y un argumento (o ángulo) [matemática] ∠ \ theta [/ matemática]. Los números positivos, como [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática] o [matemática] 3 [/ matemática] tienen una [matemática] \ arg [/ matemática] de [matemática] ∠0 [/ matemáticas]; los números negativos tienen una [matemática] \ arg [/ matemática] de [matemática] ∠π [/ matemática] (o 180 °, o medio círculo). Cuando multiplica dos números complejos, multiplica sus magnitudes y agrega sus argumentos (es decir, cada número gira el resultado por su propio ángulo); así que multiplicar dos números positivos multiplica sus magnitudes y te deja con la suma de los ángulos [matemática] ∠0 [/ matemática]; multiplicando un positivo y un negativo multiplica sus magnitudes y suma [matemática] ∠0 [/ matemática] a [matemática] ∠180 ° [/ matemática] para un ángulo final de [matemática] ∠180 ° [/ matemática]; y multiplicando dos números negativos multiplica sus magnitudes y suma dos rotaciones [matemática] 80180 ° [/ matemática] para un total de [matemática] ∠360 ° [/ matemática], que es lo mismo que [matemática] ∠0 [/ matemáticas]. Esto es consistente con lo que ya sabemos sobre la multiplicación de positivos y / o negativos de nuestras clases de Álgebra.

Esto también significa que cuadrar un número dobla su ángulo, porque sumas el ángulo dos veces; cubicando el número triplica su ángulo; elevar el número a la cuarta potencia cuadruplica el ángulo; y así. En términos más generales, elevar un número a la potencia [matemática] n ^ {th} [/ matemática] multiplica el ángulo por [matemática] n [/ matemática]. Esto no significa mucho para los números positivos, ya que su ángulo es [matemática] ∠0 [/ matemática]; pero hace toda la diferencia en el mundo para los números negativos. Como la raíz cuadrada de un número es lo mismo que elevar ese número a la potencia de ½, la raíz cuadrada del negativo corta su [matemática] ∠180 ° [/ matemática] a la mitad también, a [matemática] ∠90 ° [ /matemáticas]. Esto hace que [math] \ sqrt {−1} [/ math] sea una base ideal para coordenadas rectilíneas (p. Ej., Ejes xey), ya que [math] ∠90 ° [/ math] lo coloca en ángulo recto con respecto a lo positivo y números negativos. Por lo tanto, designar [math] \ sqrt {−1} [/ math] como [math] i [/ math] nos da una manera fácil de describir las coordenadas rectilíneas: [math] x + iy [/ math] nos mueve [math] x [/ math] unidades a lo largo de [math] ∠0 [/ math] y [math] y [/ math] unidades a lo largo de [math] ∠90 ° [/ math].

Por el contrario, la raíz cúbica de uno negativo cortaría [matemática] ∠180 ° [/ matemática] a ⅓, o [matemática] ∠60 ° [/ matemática]. Es un enfoque perfectamente válido, pero no tan útil como los ángulos rectos de la raíz cuadrada.