¿Por qué completar el cuadrado para x y dejar que sea cero nos da el valor máximo / mínimo de una función cuadrática? ¿Funciona para alguna otra función de grado superior?

Answer 1

En realidad, lo que ha descrito devuelve los puntos en los que una o ambas líneas son iguales a cero, cuyo producto es el cuadrático en cuestión. Sin embargo, si la cuadrática es una derivada, o la tasa de cambio instantánea de una función cúbica, entonces devuelve el mínimo, el máximo o el punto de inflexión.

La razón es que, dado que está parado en la parte superior o inferior de una colina sin fricción, no tiene inclinación a caer en ninguna dirección, sin una fuerza aplicada (en un campo gravitacional), por lo que la tasa de cambio instantánea es cero, en cualquiera de tales puntos Lo mismo es cierto para los puntos de inflexión. Cuanto más horizontal sea la línea tangente, menos gravedad lo impulsaría más hacia abajo, hacia el centro de la tierra.

La fuerza de gravedad normal exagera aún más este efecto al crear fricción, debido a la simetría del movimiento. Tiene que ser más difícil moverse en cualquier otra dirección que la que coincide con la dirección de mayor fuerza aplicada.

No necesitas gravedad para que esto sea cierto, solo lo hace más obvio.

Answer 2

las cuadráticas son todas similares, en el sentido de que puede escalarlas y compensarlas todas en el subyacente básico y = x ^ 2, y eso es en efecto por qué esto funciona.

los polinomios de grados impares no necesariamente tienen ningún punto mínimo o máximo (por ejemplo, el más simple posible, x ^ 3, no tiene mínimo o máximo)

incluso los polinomios de grado superior tienen necesariamente al menos un minuto o un máximo, pero no puede generalizar una solución basada en un solo desplazamiento (como puede hacerlo con un cuadrático) porque pueden tener tres valores mínimos o máximos diferentes.

Answer 3

¿Por qué completar el cuadrado para x y dejar que sea cero nos da el valor máximo / mínimo de una función cuadrática? ¿Funciona para alguna otra función de grado superior?

No funciona de esa manera. Considere x ^ 2 + 7x – 4. Completando el cuadrado, obtenemos una forma equivalente de la función (x + 3.5) ^ 2 – 16.25. Pero no dejamos que sea cero. El punto de completar el cuadrado es tener solo un término que contenga x, y ese término es un cuadrado. Lo más pequeño que puede ser un cuadrado es cero. En este ejemplo, el valor mínimo ocurre cuando x = -3.5, y el mínimo es -16.25.

Si el coeficiente de x ^ 2 fuera negativo, entonces el máximo del término cuadrado sería cero y obtendríamos un máximo.

Esto puede funcionar para algunas otras funciones, pero no con mucha frecuencia. Por ejemplo, funciona para x ^ 4 + 7x ^ 2 – 4. Debería intentar ver por qué. Luego vea por qué no funciona para polinomios generales.