Si el enésimo término de un AP es 1 / my el enésimo término es 1 / n, demuestre que (mn) el término es 1?

Supongamos que el primer término en ay la diferencia común es d. Entonces

el enésimo término es [matemáticas] a + (n-1) × d = \ frac {1} {m} [/ matemáticas]

O, [matemáticas] a = \ frac {1} {m} – (n-1) × d [/ matemáticas]

El término enésimo es [matemáticas] \ frac {1} {m} – (n-1) × d + (m-1) × d = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

Simplificando para obtener d, tenemos

[matemáticas] d (mn) = \ frac {1} {n} – \ frac {1} {m} [/ matemáticas]

[matemáticas] d = \ frac {1} {mn} [/ matemáticas]

Ahora el enésimo término será

[matemáticas] \ frac {1} {m} – (n-1) × \ frac {1} {mn} + (mn-1) × \ frac {1} {mn} [/ matemáticas]

Simplificar esto te dará

[matemáticas] \ frac {1} {m} – \ frac {n} {mn} + \ frac {1} {mn} + 1- \ frac {1} {mn} = 1 [/ matemáticas]

¡Uf, escribir esto en el teléfono celular exige algunos votos positivos!

[matemáticas] 1 / m = a_0 + nd [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 / n = a_0 + md [/ matemáticas]

Así:

[matemáticas] 1 / n – 1 / m = md – nd [/ matemáticas]

por lo tanto,

[matemáticas] (m – n) / mn = d (m – n) [/ matemáticas]

[matemáticas] d = 1 / mn [/ matemáticas]

Así

[matemática] a_0 = 1 / m – n (1 / mn) [/ matemática]

Rendiendo 0.

[matemáticas] a_ {mn} = a_0 + (mn) d [/ matemáticas]

Flexible

[matemáticas] a_ {mn} = 0 + (mn) (1 / mn) = 1 [/ matemáticas]

como en AP

enésimo término = a + (n-1) d

entonces

1 / m = a + (n-1) d

1 / n = a + (m-1) d

de la primera y segunda ecuación obtenemos a + nd = 1 / m-nd = 1 / n-md

así que de resolver la ecuación anterior.

d = 1 / mn

Ahora como sabemos,

1 / m = a + (n-1) d

Obtenemos a = 1 / mn

Entonces, enésimo término = 1 / mn + (mn-1) 1 / mn = 1

Prueba de nota a mano.