¿Cuál es la suma de la serie [matemáticas] 1 + i + i ^ 2 + i ^ 3 + i ^ 4 + \ cdots + i ^ {2017} [/ matemáticas]?

Answer 1

Espero que te refieras a [math] i = \ sqrt {-1} [/ math], la unidad imaginaria.

Tenga en cuenta que esto tiene una duración del ciclo de potencia de [math] 4 [/ math]. A saber [matemáticas] (i ^ n) = \ left \ {i, -1, -i, 1 \ right \} [/ math] donde [math] n \ in [1,4] [/ math] y [math ] n \ in \ N [/ math]

Ahora, agregue los elementos en ese conjunto juntos. Todo se cancela para dar [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Esto significa que cuando agrega la serie

[matemáticas] i + i ^ 2 + i ^ 3 + \ cdots + i ^ {2017} \ tag * {} [/ matemáticas]

todos los términos consecutivos [matemáticos] 4 [/ matemáticos] se cancelarán.

Ahora, usamos un poco de aritmética modular: [matemáticas] 2017 \ equiv \ boxed {1} \ mod 4 \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces, mira el primer número en el conjunto [matemáticas] (i ^ n) [/ matemáticas]

---

Ya que nuestra serie es

[matemáticas] 1 + i + i ^ 2 + i ^ 3 + \ cdots + i ^ {2017} \ tag * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, su respuesta debe ser [matemáticas] 1 + i [/ matemáticas].

Answer 2

La suma de cualquier progresión geométrica (para [matemáticas] x \ neq1 [/ matemáticas]) viene dada por:

[matemáticas] \ quad \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ Nx ^ n = \ frac {x ^ {N + 1} -1} {x-1} [/ math]

Sustituyendo [matemáticas] x = i, N = 2017 [/ matemáticas] tenemos:

[matemáticas] \ quad1 + i + i ^ 2 + \ dotsb + i ^ {2017} = \ frac {i ^ {2018} -1} {i-1} = \ frac {-2} {i-1} = 1 + i [/ matemáticas]

donde [matemáticas] i ^ 2 = -1 \ Rightarrow i ^ 4 = 1 \ Rightarrow i ^ {2018} = (i ^ 4) ^ {504} \ cdot i ^ 2 = -1 [/ math]

Answer 3

Suponiendo que quiere decir “I” para ser lo mismo que “i”, entonces es:

1 + i

puedes ver esto al notar que i ^ 2 = -1 e i ^ 3 = -i, entonces cada grupo de 4 términos suma cero. Así, hasta el exponente 2015, tienes una suma cero. Ahora te quedan los exponentes 2016 y 2017. Entonces i ^ 2016 es 1 (ya que 2016 es divisible por 4, e i ^ 4 = 1), e i ^ 2017 = i.