En primer lugar, en términos muy amplios.
Una secuencia es solo una lista ordenada de miembros, donde todos los miembros se extraen de un conjunto específico, al que llamaré [math] S [/ math].
Uno puede tener secuencias finitas e incluso vacías. Los vacíos se comportan muy mal, pero no son muy interesantes, excepto como excepciones molestas. Los finitos distintos de los vacíos no son muy interesantes. Asumiré secuencias infinitas en lo que sigue.
Una secuencia convergente es aquella en la que los valores de la secuencia se ajustan más y más a un valor específico (llamado “límite” de la secuencia) a medida que la secuencia progresa. El límite es (a menos que se especifique lo contrario, lo cual no es común) requerido para estar en el conjunto [math] S [/ math] del que se extraen los miembros de la secuencia; en todos los casos debe haber alguna declaración de a qué conjunto pertenece.
- ¿Hay alguna secuencia menor que la secuencia armónica que tiene una suma infinita?
- ¿Cómo resuelve la serie de suma dada: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {(n ^ 2 + 4n)} [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son las diferencias entre una serie y una secuencia?
- ¿Cuál es la suma de la serie [matemáticas] \ cfrac {1} {4} + \ cfrac {1 \ cdot3} {4 \ cdot6} + \ cfrac {1 \ cdot3 \ cdot5} {4 \ cdot6 \ cdot8} +… .. [/ matemáticas] hasta n términos?
- Entonces el enésimo término de la secuencia es3n-2.¿La secuencia es un AP? Si es así, ¿encuentra su décimo término?
La secuencia no es solo un conjunto ordenado de miembros de [math] S [/ math]. Uno puede enumerar los miembros en orden, y de hecho, la forma estándar de especificar una secuencia es usar los números naturales para indexarla.
Debe haber una declaración de lo que significa para los valores en la secuencia (y el límite, si hay uno) para estar juntos (o no). Específicamente, necesita una “métrica” en el conjunto [matemática] S [/ matemática], que define qué tan separados están los valores.
Hay bastantes condiciones para una métrica adecuada. Para cualquiera de los dos miembros [matemática] a, b [/ matemática] del conjunto [matemática] S [/ matemática] de valores posibles, se debe definir una distancia [matemática] d (a, b) [/ matemática]. Esto debe ser simétrico en sus argumentos: [matemáticas] d (a, b) = d (b, a) [/ matemáticas]. Si y solo si [matemática] a = b [/ matemática], [matemática] d (a, b) = 0 [/ matemática]. Si [matemática] a \ neq b [/ matemática], [matemática] d (a, b)> 0 [/ matemática]. Casi finalmente, está la desigualdad del triángulo. En un triángulo euclidiano, siempre debe estar al menos tan lejos de un vértice de un triángulo a otro girando a lo largo, a través del tercer vértice, como yendo directamente a lo largo del lado del triángulo que los une. Si los vértices son [matemática] A, B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática], entonces
[matemáticas] AB + BC \ geq AC [/ matemáticas]
La desigualdad del triángulo aquí es simplemente un requisito
[matemáticas] d (a, b) + d (b, c) \ geq d (a, c) [/ matemáticas]
El último detalle es un poco sutil. No puede simplemente tomar sus distancias desde cualquier conjunto ordenado con un elemento cero. Necesita un conjunto totalmente ordenado: siempre debe poder comparar distancias, de modo que para cualquier [matemática] a, b, c, d [/ matemática] en el conjunto [matemática] S [/ matemática] exactamente uno de estos es cierto:
[matemáticas] d (a, b) <d (c, d) [/ matemáticas]
[matemáticas] d (c, d) <d (a, b) [/ matemáticas]
[matemáticas] d (a, b) = d (c, d) [/ matemáticas]
Además, un punto refinado, no permitimos distancias infinitamente cercanas.
La forma estándar de obtener todo lo que necesitamos es que digamos que las distancias deben ser números reales. Es posible salirse con un poco menos que esto, siempre y cuando todas las distancias que realmente nos interesen funcionen como se esperaba. Casi el único uso práctico de esto es cuando se construyen los números reales a partir de los números racionales, cuando no se debe suponer que los números reales ya están “allí” para su uso.
Ahora estamos listos para precisar la noción de valores que se unen estrechamente y analizar más detenidamente la cuestión de si existe un límite o no. Estos se pueden manejar por separado.
La noción de “apretar fuerte” se formaliza en la definición de una secuencia de Cauchy. La idea es que una secuencia de Cauchy es aquella en la que los valores atípicos, a más de una cierta distancia del resto de los miembros de la secuencia, se producen al principio de la secuencia. Ignora suficientes términos al comienzo de la secuencia, quizás muchos términos, pero solo un número finito, y no hay valores atípicos. Y podemos ser tan exigentes como queramos con respecto a lo que cuenta como un valor atípico, sin exigir la igualdad exacta, y aún así debemos ser capaces de excluir los valores atípicos saltando un número finito de términos al comienzo de la secuencia.
Deje que la secuencia, presentada de la manera habitual como una lista indexada sobre [math] \ N [/ math], sea
[matemáticas] s_0, s_1, s_2, \ puntos s_i, \ puntos [/ matemáticas]
La secuencia es una secuencia de Cauchy, por definición, si y solo si se cumple lo siguiente:
[math] \ forall \ epsilon \ in \ R: \ epsilon> 0 \ existe n_0 \ in \ N: \ forall \ {n_1, n_2 \} \ subset \ N: n_1 \ geq n_0 \ vee n_2 \ geq n_0 \ implica d (s_ {n_0}, s_ {n_1}) \ leq \ epsilon [/ math]
Eso es mucho para asimilar de una vez. Probablemente tendrá que volver a ello varias veces antes de comprender todas las partes lo suficientemente bien como para sentir cómo encajan.
[math] \ epsilon [/ math] es solo nuestro umbral para decidir qué es un valor atípico y qué no. Solo vuelve a aparecer al final, donde decimos que todos los términos en la secuencia que comienzan en [math] n_0 [/ math] difieren entre sí en la mayoría de [math] \ epsilon [/ math]. Tenga en cuenta que no hay un único valor mágico con el que compare que determine qué es un valor atípico. Un valor atípico se decide mirando todos los términos de la secuencia después de [math] \ n_0 [/ math], y la respuesta a un valor atípico es intentar eliminarlo seleccionando un [math] n_0 [/ math] más grande. Si, para una voz dada de [math] \ epsilon [/ math], no puede encontrar un [math] n_0 [/ math] que descarte todos los valores atípicos, no tiene una secuencia de Cauchy. Por otro lado, siempre que se defina la función de distancia, es la única forma posible en que una secuencia puede dejar de ser una secuencia de Cauchy.
Veamos el caso no Cauchy un poco más difícil. Debe haber algunos [math] \ epsilon [/ math] para los que no podemos encontrar un [math] n_0 [/ math]. Es decir, podemos encontrar un par de términos de la secuencia que difieren en más de [math] \ epsilon [/ math], e incluso si los pasamos por alto, hay otro par de ese tipo más adelante, y así por siempre, nunca. quedando sin esos pares. De lo contrario, por supuesto, podríamos pasarlos todos a la vez.
OK, esa es la idea de “jalar” firmemente en su ataúd forrado de seda, completo con ajo.
¿Qué es un límite? Un límite se define de manera bastante similar, excepto que esta vez requerimos que los términos sean ajustados al límite, en lugar de uno al otro. Esto solo puede tener sentido si la función de distancia se define para pares que incluyen el límite y los miembros de la secuencia.
“[Math] l [/ math] es un límite de la secuencia [math] s_0, s_1, s_2, \ dots s_i, \ dots [/ math]” es solo una forma de decir
[matemáticas] \ forall \ epsilon \ in \ R: \ epsilon> 0 \ existe n_0 \ in \ N: \ forall n_1 \ in \ N: n_1 \ geq n_0 \ implica d (l, s_ {n_1}) \ leq \ épsilon [/ matemáticas]
Si la secuencia no es una secuencia de Cauchy, ya hemos visto que debe haber un número infinito de pares que difieran entre sí en más de [math] \ epsilon [/ math]. Cualquier límite de candidato debería ser mejor que eso. Elija cualquier límite de candidato [matemática] l [/ matemática] y un par [matemática] s_ {n_1}, s_ {n_2} [/ matemática] tal que [matemática] d (s_ {n_1}, s_ {n_2})> \ epsilon [/ math] (de nuestra colección interminable de ellos).
Es hora de la desigualdad del triángulo. La pistola fue puesta en el cajón en el Acto I, y ahora en el Acto III es hora de dispararla.
[matemáticas] d (s_ {n_1}, l) + d (l, s_ {n_2}) \ geq d (s_ {n_1}, s_ {n_2})> \ epsilon [/ math]
Entonces, al menos una de las distancias de la izquierda debe ser mayor que [math] \ frac {\ epsilon} {2} [/ math]
Pero eso significa que no podemos elegir [math] n_0 [/ math] en la definición del límite para cualquier valor de [math] \ epsilon [/ math] (como ocurre en esa definición) mayor o igual que [ math] \ frac {\ epsilon} {2} [/ math] (donde esta vez [math] \ epsilon [/ math] es un valor de [math] \ epsilon [/ math] para el cual falla la definición de una secuencia de Cauchy )
Entonces, si no tenemos una secuencia de Cauchy, no podemos tener un límite.
Por el contrario, si tenemos un límite, podemos exprimir todos los términos tan cerca del límite como queramos al quedarnos lo suficientemente tarde en la secuencia, y los términos no pueden diferir entre sí en más del doble (esto es exactamente la desigualdad de triángulo que vimos antes). Entonces elegimos [math] \ epsilon [/ math] en la definición de límite para que sea la mitad de cualquier [math] \ epsilon [/ math] que queramos en la definición de secuencia de Cauchy, y de inmediato la existencia de un límite implica que La secuencia es una secuencia de Cauchy.
Observe que dos límites cualesquiera para la secuencia deben ser iguales. Aquí es donde usamos la ausencia de infinitesimales. De lo contrario, podríamos tener dos límites infinitamente separados. Donde no hay infinitesimales, dos límites que difieren deben diferir en más de eso, específicamente, en valores más que suficientemente pequeños de [math] \ epsilon [/ math].
Lo que aún falta es mostrar que una secuencia de Cauchy debe tener un límite. Eso es porque quizás no sea cierto. Una secuencia de Cauchy parece que debería converger, en términos generales, y a menudo es posible definir un conjunto más grande, que incluye [math] S [/ math], y una extensión asociada de la función de distancia [math] d [/ math ], que proporciona el límite faltante. Pero estrictamente hablando, esa es una secuencia diferente.