¿Hay alguna secuencia menor que la secuencia armónica que tiene una suma infinita?

Answer 1

Dado que ambas sumas son infinitas, no sería realmente exacto decir que una suma es menor que la otra. Sin embargo, podría argumentar que una secuencia es menor que la otra si por cada [matemática] n \ in \ mathbb {N} [/ matemática] tenemos [matemática] a_n> b_n [/ matemática]

En ese sentido, la respuesta es, por supuesto. Trivialmente, por ejemplo, tomar cualquier suma finita de la serie armónica da como resultado uno cuyo total sigue siendo infinito. Por ejemplo, la serie

[matemáticas] a_n = 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ cdots [/ matemáticas]

donde se han omitido todas las fracciones de la forma [math] \ frac {1} {2 ^ k} [/ math] todavía tiene una suma infinita.

Algo menos trivial, la suma

[matemáticas] a_n = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {p_i} = \ frac {1} {p_1} + \ frac {1} {p_2} + \ cdots [/ matemáticas]

donde [math] p_i [/ ​​math] denota el [math] i ^ {\ text {th}} [/ math] prime también diverge al infinito, pero es intuitivamente menor que la serie armónica.

He proporcionado una prueba de esto en esta publicación.

Answer 2

Sí, hay una cantidad infinita de tales series.

Por ejemplo, tome

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = k_0} ^ \ infty \ frac {1} {n} = \ infty [/ math] (la serie armónica)

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = k_1} ^ \ infty \ frac {1} {n \ ln n} = \ infty [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = k_2} ^ \ infty \ frac {1} {n \ ln n \ ln \ ln n} = \ infty [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = k_3} ^ \ infty \ frac {1} {n \ ln n \ ln \ ln n \ ln \ ln \ ln n} = \ infty [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = k_4} ^ \ infty \ frac {1} {n \ ln n \ ln \ ln n \ ln \ ln \ ln n \ ln \ ln \ ln \ ln n} = \ infty [/matemáticas]

y así sucesivamente, con [math] k_i: = \ left \ lceil {} ^ ie \ right \ rceil [/ math], la [math] i [/ math] ‘th tetration de e se redondea al siguiente entero.

De arriba a abajo, se alcanza el infinito, pero las sumas parciales se vuelven cada vez más lentas.

La divergencia se puede mostrar a través de la prueba de comparación.

Pero por ejemplo

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = k_3} ^ \ infty \ frac {1} {n (\ ln n) ^ {1+ \ varepsilon} \ ln \ ln \ ln n} [/ math]

converge para todos [math] \ varepsilon> 0 [/ math].

Answer 3

Estoy de acuerdo con el punto de Daniel Claydon, así que no lo repetiré. Pero es fácil encontrar muchas series “más pequeñas”, como la suma de los términos 1 / (1000n) o 1 / (1000000n), etc.