¿Existe alguna forma cerrada para [matemáticas] f (a, s) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty {n \ elegir a} n ^ {- s} [/ matemáticas]?

Answer 1

Para [matemática] a = 0 [/ matemática], [matemática] f (0, s) = \ zeta (s), [/ matemática] donde [matemática] \ zeta (s) [/ matemática] – es la función Riemann Zeta

Veamos el coeficiente binomial [matemáticas] n \ elegir {a} [/ matemáticas] y reescribirlo en forma [matemáticas] \ frac {n (n-1) \ dots (n-a + 1)} {a!}. [/ math] Denotémoslo como un polinomio [math] P_a (n) [/ math], también podríamos notar que

[matemática] P_a (n) = P_ {a-1} (n) \ frac {n-a + 1} {a}, P_0 = 1 [/ matemática].

Veamos qué sucedió si sustituimos el coeficiente binomial en la fórmula por [matemáticas] f [/ matemáticas] con algún polinomio de [matemáticas] n [/ matemáticas], por ejemplo [matemáticas] \ frac {n (n-1)} {2 }.[/matemáticas]

[matemáticas] f (2, s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n (n-1)} {2} n ^ {- s} = \ frac {1} {2} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (n ^ {2-s} – n ^ {1-s} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (\ zeta (s- 2) – \ zeta (s-1) \ right) [/ math].

Ahora definamos un operador [math] \ mathcal {R} [P (n)] (s): = \ sum_ {k = 0} ^ {deg P} c_k \ zeta (sk) [/ math], donde [math ] c_k [/ math] son ​​coeficientes en [math] P (n) = c_0 + c_1n + c_2n ^ 2 \ dots [/ math]

Este operador es obviamente lineal, y es fácil verificar que [math] \ mathcal {R} [nP (n)] (s) = \ mathcal {R} [P (n)] (s-1). [/ matemáticas]

Y finalmente podemos escribir

[matemática] f (a, s) = \ matemática {R} [P_a (n)] (s) = \ matemática {R} [P_ {a-1} (n) \ frac {n-a + 1} { a}] (s) = \ frac {1} {a} f (a-1, s-1) – \ frac {a-1} {a} f (a-1, s) [/ math]

Ahora tenemos un buen recursivo en [math] a [/ math] definición de [math] f (a, s) [/ math]:

[matemáticas] f (0, s) = \ zeta (s) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (a, s) = \ frac {1} {a} f (a-1, s-1) – \ frac {a-1} {a} f (a-1, s) [/ matemáticas ]