Cuando vea algo como esto, debería ser como “el radio de convergencia está determinado por coeficientes grandes, que se producen cuando [math] \ sin [/ math] es pequeño, lo que sucede cuando eso [math] \ pi [/ matemática] se multiplica por algo cercano a un número entero [matemática] m [/ matemática], lo que significa que [matemática] m / n [/ matemática] es una muy buena aproximación de [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática ], y entiendo muy buenas aproximaciones de [math] \ sqrt {2} [/ math] porque sé acerca de las fracciones continuas “.
Si has visto cosas como esta antes, esto se puede acortar a “ok amigo, estoy hablando de ti, estás tratando de ocultar la medida de irracionalidad de [math] \ sqrt {2} [/ math] como un radio del problema de convergencia “.
Para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias, necesitamos comprender qué tan rápido crecen sus coeficientes, donde “crecer” no implica que tengan que aumentar de manera monotónica; solo significa qué tan grandes son los delincuentes más grandes que siguen apareciendo, independientemente de los valores pequeños irrelevantes que puedan estar esparcidos en el medio. Es por eso que tienes ese “limsup” en la fórmula para el radio de convergencia.
Formalmente, si el coeficiente de [matemática] x ^ n [/ matemática] es [matemática] a_n [/ matemática], observamos los números [matemática] R [/ matemática] que son lo suficientemente grandes como para mantener la [matemática] a_n [ / math] está bajo control: necesitamos [math] | a_n | <R ^ n [/ math], al tiempo que permitimos muchas excepciones. El menor de estos [math] R [/ math], o el límite inferior más grande de tales [math] R [/ math] s, es el valor crítico: el radio de convergencia.
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En nuestro caso,
[matemáticas] \ displaystyle a_n = \ frac {1} {\ sin (\ pi n \ sqrt {2})} [/ matemáticas]
Esto es grande (en valor absoluto) cuando [math] \ sin [/ math] está cerca de [math] 0 [/ math], que es cuando [math] n \ sqrt {2} [/ math] está cerca a un entero. Como [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional, [math] n \ sqrt {2} [/ math] nunca es realmente un número entero, lo cual es bueno: significa que [math] a_n [/ math] es un número real genuino y no se vuelve indefinido de vez en cuando.
Para entender qué tan cerca [math] n \ sqrt {2} [/ math] puede estar a un número entero, necesitamos entender qué tan bien [math] \ sqrt {2} [/ math] puede aproximarse por racional números. Por supuesto, hay números racionales arbitrariamente cercanos a [math] \ sqrt {2} [/ math], pero ¿qué tan cerca pueden llegar con un denominador dado?
Veamos. Si [math] n \ sqrt {2} [/ math] está cerca de un número entero [math] m [/ math], entonces [math] | n \ sqrt {2} -m | [/ math] es pequeño, lo que significa que
[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ sqrt {2} – \ frac {m} {n} \ right | [/ math]
también es pequeño ([matemáticas] n [/ matemáticas] veces más pequeño). Pero como [math] \ sqrt {2} [/ math] es una “suma cuadrática”, es decir, un número algebraico irracional que satisface una ecuación cuadrática con coeficientes racionales, no puede aproximarse demasiado bien con números racionales. De hecho, para cualquier [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] solo puede haber finitamente muchos números racionales [matemática] m / n [/ matemática] para los cuales
[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ sqrt {2} – \ frac {m} {n} \ right | <\ frac {1} {n ^ {2+ \ epsilon}} [/ math]
(Esta estimación es realmente cierta para todos los números algebraicos, pero este es un teorema difícil de Roth. Para los resultados cuadráticos como [math] \ sqrt {2} [/ math] se puede derivar principalmente de la teoría de las fracciones continuas, ya que La expansión de fracción continua es periódica para tales números, por lo tanto, sus coeficientes están delimitados y siempre proporciona las mejores aproximaciones racionales).
Lo que esto nos dice es que, excepto quizás por un número limitado de valores atípicos, [math] | n \ sqrt {2} -m | [/ math] no puede ser menor que, digamos, [math] n ^ {- 1.1} [/ math] , lo que significa que [matemática] | \ sin (\ pi n \ sqrt {2}) | [/ matemática] no puede ser menor que la mitad de eso, digamos, entonces el inverso de eso no puede ser mayor que [matemática] 2n ^ {1.1 }[/matemáticas]. Los coeficientes no crecen mucho más rápido que linealmente.
En realidad, es realmente genial ver esto en acción. Si explora los valores de [matemática] | a_n | [/ matemática] para [matemática] n [/ matemática] desde [matemática] 1 [/ matemática] a, por ejemplo, [matemática] 500 [/ matemática], usted ‘ Notaré que de vez en cuando aparece un gran número, uno que supera a todos sus predecesores. Esto sucede en [matemáticas] n = 2,5,12,29,70,169 [/ matemáticas] y [matemáticas] 408 [/ matemáticas]. Por ejemplo, [math] a_ {408} = 367.3298 \ ldots [/ math], mientras que el valor anterior más grande está por encima de [math] 152 [/ math], que ocurre en [math] a_ {169} [/ math]. Puedes ver que [math] | a_n | [/ math] no se aleja demasiado de [math] n [/ math], como hemos visto.
¿De dónde vienen esos números extraños? Puede reconocerlos como los denominadores parciales de la fracción continua [matemáticas] [1; 2,2,2, \ ldots] [/ matemáticas]. Esto es solo una instancia del hecho de que los convergentes de esta fracción continua son las mejores aproximaciones racionales de [math] \ sqrt {2} [/ math].
Por lo tanto, los coeficientes de nuestra serie de potencias crecen solo un poco peor que linealmente, por lo que son menores que [matemática] R ^ n [/ matemática] para cualquier [matemática] R> 1 [/ matemática], pero no menor [matemática] R [/ math], y el radio de convergencia es [math] 1 [/ math].
Como siempre, conocer el radio de convergencia no te dice exactamente para qué valores de [math] x [/ math] converge la serie. Sabes que converge para [matemáticas] | x | R [/ matemáticas], pero todas las apuestas están desactivadas cuando [matemáticas] | x | = R [ /matemáticas]. Aquí [math] x [/ math] puede ser real o complejo, no importa. Si realmente necesita determinar con precisión qué sucede con [matemática] | x | = 1 [/ matemática] en este problema, tendremos que trabajar un poco más y puede ser menos que trivial con la forma caótica [matemática] \ sin (n \ theta) [/ math] cambia de signo.