¿Cómo encuentras la suma al infinito de una serie no geométrica?

Answer 1

Depende bastante de los términos de series dadas (= suma infinita)

Probablemente, el tipo de serie más fácil para el que sabemos cómo calcular sus sumas exactas son “serires telescópicos”, que son series como la serie geométrica de potencias de 1/2, o la serie de los recíprocos de n * (n + 1) En ambos casos podemos escribir cada término de la serie como la diferencia entre 2 términos consecutivos en otra secuencia infinita que tiende a 0. En el caso de la serie de potencias de 1/2 podemos escribir

1/2 ^ n = 1/2 ^ (n-1) -1 / 2 ^ n,

y en el otro caso podemos escribir:

1 / (n * (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1).

Al usar la telescopización, encontramos que la suma parcial finita de series telescópicas reduce a una expresión muy simple cuyo límite podría calcularse, lo que proporciona la respuesta a la pregunta. Por ejemplo:

1/2 + 1/2 ^ 2 + 1/2 ^ 3 +… + 1/2 ^ n = (1–1 / 2) + (1 / 2–1 / 2 ^ 2) + (1/2 ^ 2 –1 / 2 ^ 3) +… + (1/2 ^ (n-1)) – 1/2 ^ n) =

= 1- (1 / 2–1 / 2) – (1/2 ^ 2–1 / 2 ^ 2) -… – (1/2 ^ (n-1) -1 / 2 ^ (n-1)) -1 / 2 ^ n = 1–1 / 2 ^ n → 1 como n → infinito,

y

1 / (1 * 2) + 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) +… + 1 / (n (n + 1)) = (1–1 / 2) + (1 / 2– 1/3) + (1 / 3–1 / 4) +… + (1 / n-1 / (n + 1)) =

= 1- (1 / 2–1 / 2) – ((1 / 3–1 / 3) -… – (1 / n-1 / n) -1 / (n + 1) = 1–1 / (n +1) → 1 como n → infinito.

Pero, en general, no existe un método único que pueda aplicarse a todas las sumas posibles de secuencias infinitas de números, es decir, a las sumas de todas las series infinitas, siempre que sean convergentes (= que tengan sumas finitas). Una técnica que podría ayudarlo a encontrar la suma de una serie infinita no es necesariamente útil para encontrar la suma de otra serie infinita. De hecho, hay más series infinitas de números sobre las cuales sabemos que su suma es finita (series convergentes) pero no tenemos forma de saber cuál es su suma exacta y solo podemos encontrar buenas estimaciones para sus sumas. Por ejemplo, la serie infinita de poderes impares de los recíprocos de todos los números naturales, es decir:

1 ^ (- 2p-1) +2 ^ (- 2p-1) +3 ^ (- 2p-1) +… + n ^ (2p-1) +… (hasta el infinito), p = 1,2,3 , …

En contra de estas sumas, las sumas de todas las series infinitas:

1 ^ (- 2p) +2 ^ (- 2p) +3 ^ (- 2p) +… (hasta el infinito), p = 1,2,3,….,

que Euler pudo calcular exactamente para cada número natural p, por ejemplo, ha encontrado la suma

1 ^ (- 2) +2 ^ (- 2) +3 ^ (- 2) +… = (pi ^ 2) / 6

Pero los métodos para calcular tales series (y hay multitud de métodos para calcularlos, la mayoría de ellos requieren medidas matemáticas muy sofisticadas) no se aplicarían al cálculo de otras series infinitas.

Answer 2

En general, al principio, también podemos suponer [matemática] \ sum_ {i = 0} ^ \ infty a_i \ to \ infty [/ math], para [math] a_i> 0 [/ math], prueba de convergencia rechazaría esta hipótesis nula. Para que la secuencia de sumas parciales finitas converja, se deben cumplir restricciones adicionales.

Se sabe que las series geométricas convergen, si [matemática] \ lim_ {i \ to \ infty} a_i ^ {\ frac {1} {i}} <1 [/ matemática], por ejemplo. Las series no geométricas tendrían que ser sabiamente comparadas con las series geométricas convergentes o divergentes.

La decisión sobre convergencia o no convergencia debe llevarse a cabo caso por caso, entonces.

Si se establece la convergencia, podemos sumar los elementos de secuencia, tomando el valor absoluto del último elemento agregado, como una estimación del error de truncamiento, entonces [math] \ forall \ epsilon> 0 \ thinspace \ exist N (\ epsilon) \ thinspace : | s-s_n | <| \ sum_ {i = N (\ epsilon) +1} ^ \ infty a_i | <| a_ {N (\ epsilon)} | <\ epsilon [/ math], entonces.

Answer 3

Lo haces por la definición de suma de una serie; es decir, usa sumas parciales. Específicamente, para a1 + a2 + a3 +… (hasta el infinito), considere la secuencia de sumas parciales: S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3,…, Sn = a1 + a2 + … + an. Luego considera si estos números Sn se están acercando cada vez más a un número. Por supuesto, el término matemático para esto está tomando el límite de Sn cuando n se aproxima al infinito.

Si esto sucede, decimos que la serie converge (al número límite) y llamamos a esa respuesta la suma. Si no, decimos que la serie diverge.

Por ejemplo, ¿por qué las series infinitas de todos los 1 no tienen una suma? Es decir, mira la serie 1 + 1 + 1 +… hasta el infinito. Bueno, mira las sumas parciales: S1 = 1, S2 = 1 + 1 = 2, S3 = 1 + 1 + 1 = 3, y en general Sn = n. Ahora, ¿qué pasa cuando n aumenta? Sn = n no tiene límite; los términos no se acercan más y más a un número. (Nota: infinito NO es un número). Esta serie diverge.

Un ejemplo más sutil, esta vez de convergencia, es lo que llamamos la serie p2:

1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + … NO es obvio que esta serie no geométrica converja (tiene una suma). De hecho, ¡creo que fue el gran Euler en la década de 1700 quien mostró que la suma es pi ^ 2/6! Como dije, esto no es para nada obvio.

Este tema, por cierto, es totalmente estándar en los cursos de Cálculo II, y lo que he escrito aquí no es original, sino más bien una repetición ligeramente simplificada de algunos puntos que me sentí destacado al responder la pregunta. Espero que ayude al menos un poco.