Como se menciona en la otra respuesta a esta pregunta, la secuencia que reproduce los números dados se puede expresar como:
[matemáticas] {\ displaystyle a_n = 2 ^ n + 3 ^ n + 4 ^ n, n \ in \ mathbb {Z} ^ +} [/ matemáticas]
Se pueden calcular números adicionales en la secuencia con Mathematica escribiendo:
Tabla [{n, 2 ^ n + 3 ^ n + 4 ^ n}, {n, 1, 40}]
Esto produce los siguientes pares de valores [math] \ {n, a_n \} [/ math]:
- ¿Cuál es la razón común entre términos sucesivos en la secuencia 27, 9, 3 y 1?
- ¿Qué es una secuencia convergente? ¿Cuál es un ejemplo adecuado?
- ¿Hay alguna secuencia menor que la secuencia armónica que tiene una suma infinita?
- ¿Cómo resuelve la serie de suma dada: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {(n ^ 2 + 4n)} [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son las diferencias entre una serie y una secuencia?
{{1, 9}, {2, 29}, {3, 99}, {4, 353}, {5, 1299}, {6, 4889}, {7,
18699}, {8, 72353}, {9, 282339}, {10, 1108649}, {11, 4373499}, {12,
17312753}, {13, 68711379}, {14, 273234809}, {15, 1088123499}, {16,
4338079553}, {17, 17309140419}, {18, 69107159369}, {19,
276040692699}, {20, 1102999460753}, {21, 4408508961459}, {22,
17623571298329}, {23, 70462895745099}, {24, 281757423024353}, {25,
1126747229006499}, {26, 4506141560307689}, {27,
18022024241184699}, {28, 72080471098818353}, {29,
288299007065947539}, {30, 1153127396812683449}, {31,
4612303693971155499}, {32, 18448597098193370753}, {33,
73792535363994696579}, {34, 295164582378232361609}, {35,
1180641652296870041499}, {36, 4722516577573661689553}, {37,
18889916215521910805619}, {38, 75559214577906874318169}, {39,
302235507459360068466699}, {40, 1208937977281187743262753}}
Así que aquí el próximo o quinto término es:
[matemáticas] \ grande a_5 = 1299. [/ matemáticas]
A continuación se muestra una gráfica de los primeros siete valores numéricos en la secuencia (de Wolfram Alpha):
/main-qimg-a978bc24d254b9b83f921d2448ac09f6.png)
Cabe señalar que los números [matemática] a_n [/ matemática] para [matemática] n [/ matemática] múltiplo de [matemática] 4 [/ matemática] terminan con los siguientes dígitos repetidamente:
[matemáticas] 353, 353, 753,553,753,… [/ matemáticas]
Los otros valores de [math] a_n [/ math] para [math] n \ neq 4 [/ math] terminan con el dígito [math] 9 [/ math]. Para [matemática] n [/ matemática] impar, los números en la secuencia son divisibles por [matemática] 9 [/ matemática].
Los números en las preguntas también se pueden reproducir mediante un polinomio interpolador. Escribiendo el código de Mathematica:
InterpolatingPolynomial [{9, 29, 99, 353}, x] // Expandir
produce el siguiente polinomio:
[matemáticas] {\ displaystyle P (n) = \ frac {67 n ^ 3} {3} -109 n ^ 2 + \ frac {572 n} {3} -95} [/ matemáticas]
Los valores obtenidos con el polinomio anterior (para [matemáticas] n> 4 [/ matemáticas]) son diferentes de los valores dados por la secuencia [matemáticas] a_n [/ matemáticas]. Estos son los valores de [matemática] P (n) [/ matemática] para [matemática] n [/ matemática] entre [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 30 [/ matemática] (calculada con Mathematica):
{{1, 9}, {2, 29}, {3, 99}, {4, 353}, {5, 925}, {6, 1949}, {7,
3559}, {8, 5889}, {9, 9073}, {10, 13245}, {11, 18539}, {12,
25089}, {13, 33029}, {14, 42493}, {15, 53615}, {16, 66529}, {17,
81369}, {18, 98269}, {19, 117363}, {20, 138785}, {21, 162669}, {22,
189149}, {23, 218359}, {24, 250433}, {25, 285505}, {26,
323709}, {27, 365179}, {28, 410049}, {29, 458453}, {30, 510525}}
En este caso, el próximo o quinto término es:
[matemáticas] P (5) = 925. [/ matemáticas]
A continuación se muestra una gráfica continua de la secuencia [matemáticas] a_n = 2 ^ n + 3 ^ n + 4 ^ n [/ matemáticas] y del polinomio interpolador [matemáticas] P (n) [/ matemáticas], que muestra la diferencia entre valores que producen para [math] n \ leq 10 [/ math] (hecho con Mathematica):
/main-qimg-b3274b3e46eea8a8fb7c05526e3c66d0.png)