Primero puedes simplificar la expresión.
[matemáticas] \ sqrt {2.7} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {\ dfrac {270} {100}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {270}} {\ sqrt {100}} [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {270}} {10} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {9 \ cdot 30}} {10} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {3 \ sqrt {30}} {10} [/ matemáticas]
Si está buscando hacer una aproximación de [math] \ sqrt {30} [/ math] a mano, hay muchos métodos. Prefiero una solución iterativa. Comience por adivinar. Comenzaría con una suposición de 5, porque parece estar cerca de la solución.
Una vez que haya hecho una suposición, puede calcular conjeturas cada vez más cercanas de esta manera:
Haz x tu última mejor suposición.
y será la próxima mejor suposición.
a será el número del que desea la raíz cuadrada.
[matemáticas] y = \ dfrac {x ^ 2 + a} {2x} [/ matemáticas]
Para este problema, queremos la raíz cuadrada de 30, podemos multiplicar por [math] \ frac {3} {10} [/ math] después de estar satisfechos con nuestra precisión.
[matemáticas] y = \ dfrac {5 ^ 2 + 30} {2 (5)} = \ dfrac {11} {2} [/ matemáticas]
Podemos repetir esto para seguir obteniendo mejores y mejores conjeturas.
[matemáticas] y = \ dfrac {\ left (\ frac {11} {2} \ right) + 30} {2 \ left (\ frac {11} {2} \ right)} = \ dfrac {241} {44 }[/matemáticas]
[matemáticas] y = y = \ dfrac {\ left (\ frac {241} {44} \ right) + 30} {2 \ left (\ frac {241} {44} \ right)} = \ dfrac {116161} {21208} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ dfrac {\ left (\ frac {116161} {21208} \ right) + 30} {2 \ left (\ frac {116161} {21208} \ right)} = \ dfrac {26986755841} {4927084976 }[/matemáticas]
Podrías repetir esto tantas veces como quieras, pero pararé aquí. Después de multiplicar por [math] \ frac {3} {10} [/ math], obtienes [math] \ frac {80960267523} {49270849760} [/ math], que es aproximadamente 1.643167672515498340372037456006725872
Con una calculadora, la mejor aproximación de [math] \ sqrt {2.7} [/ math] sería 1.643167672515498340370909348402406402
Observe ambos números redondos a 1.64316767251549834037, por lo que esto le dio una aproximación bastante buena.