¿Qué es [matemáticas] e ^ {- i \ pi} [/ matemáticas]?

La expresión se evalúa como menos uno; eso es (-1). ¿Por qué?

Números como estos se llaman números complejos. Son números bidimensionales que se pueden dibujar en una hoja de papel cuadriculado bidimensional en lugar de una línea numérica unidimensional como contar números. Se utilizan para analizar funciones de onda, es decir, fenómenos que son repetitivos como la corriente alterna en ingeniería eléctrica, por ejemplo.

“E” es un número que no se puede escribir como una fracción (o una razón de números enteros). Es un número irracional (como π, por ejemplo). Se puede aproximar sumando un número arbitrario de términos en una cierta serie infinita para alcanzar el nivel de precisión que se desee. Para trabajar con “e” en problemas prácticos, debe redondearse a un número conveniente de decimales.

Introduzca “e” en una calculadora y devolverá el valor 2.7182 … La belleza de trabajar con “e” es que las derivadas e integrales de funciones basadas en potencias exponenciales de “e” son fáciles de calcular.

¿Qué es “e” elevado al poder de (-iπ)?

Una característica maravillosa de las matemáticas de los números complejos es que todos los valores de expresiones que involucran el número “e” elevado a la potencia de un exponente que contiene la letra “i” se encuentran convenientemente en el borde (o perímetro) de un círculo de radio uno. Este hecho feliz hace que la comprensión de la expresión sea fácil.

El número al lado de la letra “i” es simplemente el ángulo en radianes donde la respuesta se encuentra en el círculo. Dibuje una línea desde el centro del círculo en el ángulo especificado en el exponente de “e” e intersectará el círculo en el valor de la expresión. ¿Qué podría ser más fácil?

El círculo unitario puede hacerse más grande o más pequeño agregando varios números de estiramiento o encogimiento delante de e. De esta manera, se puede acceder a todo el plano complejo por los círculos de números complejos usando “e” e “i”. Para simplificar mi respuesta, me dirijo solo al círculo unitario donde el número delante de “e” siempre es uno y, por convención popular, no se muestra.

Para la pregunta particular que estamos luchando por responder, el número en el exponente al lado de “i” es (-π), ¿correcto?

“Π radianes” es 180 grados, ¿verdad? El signo menos se puede considerar como un indicador de dirección que dice moverse en el sentido de las agujas del reloj alrededor del círculo de la unidad, en lugar de hacerlo en sentido contrario si el signo es positivo.

Usando el diagrama anterior, coloque el dedo en (1 + 0i), que se encuentra a cero radianes (o cero grados), y trace 180 grados en el sentido de las agujas del reloj alrededor del círculo. Tenga en cuenta que el radio del círculo es uno y su centro está ubicado en cero, que en dos dimensiones, el espacio complejo es (0 + 0i). Terminarás en el valor (-1 + 0i) en el lado opuesto del círculo, que es la respuesta, por cierto.

Observe que + π radianes lo lleva al mismo lugar. El valor en el que aterrizas es (-1 + 0i), que es -1. La respuesta es menos uno.

Imagine que el número al lado de “i” es (π / 2) radianes. Eso es 90 grados, de acuerdo? El signo es positivo, así que trace el círculo 90 grados en sentido antihorario. Termina en (0 + i), que es hacia arriba. “I” en este caso es una distancia de una unidad hacia arriba desde la recta numérica horizontal, por lo que el número se escribe (0 + i): distancia cero en la dirección horizontal y distancia “más una” en la “i” (o vertical ) dirección.

Entonces, la “i” en el exponente de “e” dice “mirar aquí” para encontrar el ángulo donde el valor de la respuesta se encuentra en el círculo unitario; de manera similar, la “i” en las coordenadas rectangulares de un número bidimensional como (0 + i) dice “mira aquí” para encontrar la distancia vertical arriba o debajo de la recta numérica horizontal.

Al evaluar “e” elevado a la potencia de “i” multiplicado por algo, cualquiera que sea el ángulo al lado de “i” (llámelo “θ”) se puede transformar fácilmente en coordenadas rectangulares utilizando esta expresión: [cos (θ) + yo pecado (θ)].

Por ejemplo: digamos que el exponente de “e” es i (π / 3). (π / 3) radianes es de 60 grados, ¿verdad? El coseno de 60 grados es 0.5 y el seno de 60 grados es .866 …

Entonces, el valor de “e” elevado a la potencia de i (π / 3) es (0.5 + .866 … i). Es un número bidimensional. Y se encuentra en el círculo unitario.

Cuanto más grande sea el exponente en “e”, más veces se debe rastrear el círculo para aterrizar en la respuesta. Pero nunca dejas el círculo. La respuesta siempre se encuentra en el círculo entre 0 y 2π radianes (o 0 y 360 grados) sin importar qué tan grande sea el exponente.

Es por eso que estas expresiones que involucran “e” e “i” son ideales para trabajar con fenómenos repetitivos, sinusoidales (como ondas).

Algunos lectores podrían preguntarse qué son los radianes. Un radián es el radio de un círculo elevado y doblado para encajar exactamente en el borde del círculo. Se necesita un poco más de tres piezas de radio (3.14159 … para ser más precisos) para alcanzar desde cero grados hasta la mitad de cualquier círculo de cualquier tamaño. Este número, 3.14159 …, es el número llamado “π”. 2π radianes (o un poco más de seis piezas de radio de un cuarto) abarcarán completamente el perímetro (o circunferencia) de un círculo.

Un radián tiene aproximadamente 57.3 grados de arco. Multiplique 3.1416 por 57.3 para ver qué tan cerca está de 180 grados. Obtengo 180.01 … El resultado es realmente cercano a 180 grados, considerando que ambos números son irracionales y redondeados a solo unos pocos decimales.

Una de las reglas para trabajar con números complejos es la siguiente: multiplicar un número por “i” se logra girando el número 90 grados. El número “i” se encuentra a 90 grados (o π / 2 radianes) en el círculo unitario por definición. Multiplicar “i” por “i” (de acuerdo con las reglas) significa rotar el punto en “i” otros 90 grados (π / 2 radianes) en sentido contrario a las agujas del reloj en el círculo, lo que mueve el punto a 180 grados (o π radianes) .

Este es el punto (-1 + 0i), que es menos uno, ¿verdad?

Entonces sí, absolutamente, “i” multiplicado por “i” es igual a -1. De ello se deduce que la raíz cuadrada de menos uno debe ser “i”. Cuando se entiende de esta manera, la raíz cuadrada de menos uno no parece misteriosa.

Es útil pensar en los números complejos como números bidimensionales con componentes reales e imaginarios. Sin embargo, no hay nada imaginario sobre el componente vertical de un número bidimensional.

Las personas que primero trabajaron con estos números pensaron que estaban imaginando cosas. Los conceptos eran demasiado radicales en ese momento para que cualquiera creyera que los números podrían estar como puntos en un plano de la misma manera que los números se encuentran en una sola línea numérica.

Visite el sitio web BillyLeePontificator para leer “What is Math” para obtener más información.

Otro tema interesante es la expresión [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas], donde el número imaginario “i” se eleva a la potencia de otro número imaginario. Agregué un ensayo en el BillyLeePontificator llamado EYE TO EYE, que algunas personas pueden encontrar interesante.

Billy Lee

e ^ ix = cosx + isinx

entonces, e ^ -iπ = cosπ-isinπ = -1

En primer lugar, antes de saber qué es e ^ (- i (pi)) debe saber qué es (re ^ (i (cualquier cosa))).

En realidad, es una forma exponencial de escribir cualquier número complejo que en forma habitual viene dado por a + ib donde a, b son números reales. i es un complejo no evaluado como (-1) ^. 5.

Nuevamente, e ^ (i (theta)) se puede escribir como (cos (theta) + i (sin (theta))) y r es ((a ^ 2 + b ^ 2)) ^. 5.

Usando todas las consideraciones anteriores y evaluando el resultado final obtenemos e (-i (pi)) como -1

Vea la respuesta a esta pregunta muy similar de Quora: la respuesta de Peter James Thomas a ¿Cómo puede probar que [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas]? Luego piense en las reglas que se aplican a indeces.

También puede tener en cuenta que la diferencia entre [matemática] -i \ pi [/ matemática] y [matemática] i \ pi [/ matemática] es precisamente [matemática] 2i \ pi [/ matemática], por supuesto.

Use la identidad e ^ i ♡ = cos ♡ + isin ♡.

Ahora, e ^ (- i.pi) = e ^ i (-pi) = cos (-pi) + isin (-pi)

= -1 + i × 0 = -1 + 0 = -1. Resp.

¡Es el recíproco de la cantidad en mi imagen de visualización! 🙂

Respuesta seria: e ^ (- i pi) = 1 cis (-pi) = cos (-pi) + i sin (-pi) = -1.

Sabemos por la teoría de los números complejos que

e ^ (itheta) = cos theta + i sin theta

En nuestro problema theta = pi. Por lo tanto,

e ^ (- i.pi) = cos pi – i sen pi = -1 – i.0 = -1 (Respuesta)

e ^ −iπ = 1 / (e ^ iπ) = 1 / -1 = -1