Si [math] \ displaystyle \ int_1 ^ 4 [/ math] [math] f (x) dx = 5 [/ math], ¿cuál es el valor de [math] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 f (3x + 1) dx [/matemáticas]?

Answer 1

Dejar

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_1 ^ 4f (x) \; dx = 5 [/ matemáticas]

Considerar

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 f (3x + 1) \; dx [/ matemáticas]

Tome [matemáticas] 3x + 1 = t [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \; dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = \ frac {dt} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] da [matemáticas] t = 3x + 1 = 3 (0) + 1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] da [matemáticas] t = 3x + 1 = 3 (1) + 1 = 4 [/ matemáticas]

[matemática] x [/ matemática] de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 1 [/ matemática] se convierte en [matemática] t [/ matemática] de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 4 [ /matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 f (3x + 1) \; dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {3} \ int_1 ^ 4f (t) \; dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {3} I [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {3} \ cdot 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {= \ frac {5} {3}} [/ math]

Editar: Gracias, señor Phil Scovis, por editar las anotaciones correctamente. 🙂

Answer 2

Sea [math] u = 3x + 1 \ \ por lo tanto \ mathrm du = 3 \, \ mathrm dx [/ math] y [math] u = 1 [/ math] cuando [math] x = 0 [/ math] [matemáticas] u = 4 [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ int_0 ^ 1 f (3x + 1) \, \ mathrm dx = {\ textstyle \ frac {1} {3}} \ int_1 ^ 4 f (u) \, \ mathrm du = { \ textstyle \ frac {1} {3}} \ cdot 5 = \ boxed {\ textstyle \ frac {5} {3}} [/ math]

---

Dividamos esa primera sustitución en partes separadas solo para una mayor claridad de lo que sucedió allí, ya que este es un escenario ligeramente inusual.

Primero sustituimos [math] u [/ math] por [math] 3x + 1 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ int_0 ^ 1 f (3x + 1) \, \ mathrm dx = \ int_0 ^ 1 f (u) \, \ mathrm dx [/ math]

Tenga en cuenta que la variable de integración sigue siendo [matemática] x [/ matemática], y los límites todavía se muestran aquí en términos de [matemática] x [/ matemática]. A continuación, sustituimos [math] {\ textstyle \ frac {1} {3}} \, \ mathrm du [/ math] por [math] \ mathrm dx [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ int_0 ^ 1 f (u) \, \ mathrm dx = \ int_ {x = 0} ^ {x = 1} f (u) \, \ mathrm dx = \ int_ {x = 0 } ^ {x = 1} f (u) \ cdot {\ textstyle \ frac {1} {3}} \, \ mathrm du = {\ textstyle \ frac {1} {3}} \ int_ {x = 0} ^ {x = 1} f (u) \, \ mathrm du [/ math]

La variable de integración ahora es [math] u [/ math], pero los límites todavía se muestran en términos de [math] x [/ math] que, por lo tanto, he hecho explícito. Finalmente, sustituimos los valores límite [matemática] u = 1 [/ matemática] cuando [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] u = 4 [/ matemática] cuando [matemática] x = 1 [/ matemática]:

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto {\ textstyle \ frac {1} {3}} \ int_ {x = 0} ^ {x = 1} f (u) \, \ mathrm du = {\ textstyle \ frac {1} {3}} \ int_ {u = 1} ^ {u = 4} f (u) \, \ mathrm du = {\ textstyle \ frac {1} {3}} \ int_1 ^ 4 f (u) \, \ mathrm du [/ math]

Answer 3

Supongamos que F (x) es la antiderivada de f (x).

Entonces la integral de 1 a 4 de f (x) dx se puede escribir como F (4) -F (1), que es igual a 5.

Del mismo modo, la antiderivada de f (3x + 1) se puede escribir como F (3x + 1) / 3. Tenga en cuenta que tenemos que dividir por 3 debido a la regla de la cadena.

Entonces, la integral de 0 a 1 de f (3x + 1) dx se puede escribir como F (3 * 1 + 1) / 3 – F (3 * 0 + 1) / 3 = F (4) / 3 – F ( 1) / 3 = [F (4) – F (1)] / 3 = 5/3.

Answer 4

5/3. Está integrando los mismos valores en un intervalo que es 1/3 del largo.

Answer 5

Sugerencia: sea y = 3x + 1, dy = 3dx. Tomar desde allí.