¿Se puede integrar [math] \ frac {\ sin x} {x} [/ math]?

Answer 1

No estás completamente equivocado. Pero yo diría que estás atrapado en los matices de “matemáticas y gramática”. ¿Confuso?

Bien, déjame explicarte.

Esta es una función no integrable, lo que significa que sus anti-derivados (ver wiki para su definición) no se pueden expresar en términos de funciones elementales. No importa cuán astutamente intente la sustitución o integración por partes en sin (x) / x, siempre terminará con otra función no integrable.

Pero eso no restringe a los matemáticos para integrarlo. Sé dos trucos increíbles (sin embargo, podría haber miles de millones) para integrar esta función en particular:

Aproximación : puede expandir sin (x) utilizando la expansión de Taylor y luego dividirla por x. Le dará una mejor aproximación de la función. Cuantos más términos agregue, mejor aproximación obtendrá. Me gusta esto:

sin (x) = x – (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! – (x ^ 7) / 7! + …

o, sin (x) / x = 1 – (x ^ 2) / 3! + (x ^ 4) / 5! – (x ^ 6) / 7! +…

o, ∫ sen (x) / x dx = x – (x ^ 3) / (3 * 3!) + (x ^ 5) / (5 *!) – (x ^ 7) / (7 * 7!) +… + C

Integral convergente : tomando la función no integrable como una integral impropia, puede usar las propiedades integrales de contorno (o las propiedades de sistemas complejos) para integrar esta función particular. Ya lo he respondido aquí: la respuesta de Nouroz Rahman a ¿Cómo probarías esto? [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin (t)} {t} \ mathrm {d} t = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]

Este método le dará una respuesta sorprendente y una visión para discernir mejor esta función no integrable. Y al usar esta propiedad derivada, también puede desbloquear muchas otras funciones no integrables.

En conclusión, la función no es integrable porque cada vez que intente simplificarla, tendrá otra función no integrable (que en realidad la convierte en un compuesto no integrable). Sin embargo, siempre hay formas de calcular la integración de dicha función porque la integración de una función es solo el método para encontrar el área bajo la curva dibujada por la función. ¿No es así?

Espero que mi respuesta ayude un poco!

Answer 2

En realidad puedes.

[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ sin \ left (x \ right)} {x} \, \ mathrm {d} x [/ math]

Esta es una integral especial llamada integral sinusoidal :

[math] = \ operatorname {Si} \ left (x \ right) [/ math]

Por definición, [math] \ operatorname {Si} \ left (x \ right) [/ math] es la antiderivada de [math] \ dfrac {\ sin \ left (x \ right)} {x} [/ math] que es cero para [matemáticas] x = 0. [/ matemáticas]

Esto se puede representar como:

Entonces, la solución final para [math] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ sin \ left (x \ right)} {x} \, \ mathrm {d} x [/ math] es [math] = \ operatorname { Si} \ left (x \ right) + C [/ math]

Answer 3

Puede ser. ¿Quién te dijo lo contrario? El resultado (hasta una constante aditiva, por supuesto) es una función llamada [math] \ mathrm {Si} (x) [/ math], que significa “integral senoidal”.