¿Cuál es la suma de 50 términos de la serie [matemáticas] \ frac {3} {1 ^ 2} + \ frac {5} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {7} {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2} + \ ldots [/ math]?

Answer 1

El enésimo término de la serie es

=> {3 + 2 (n-1)} / {1² + 2² + 3² + 4² +… .n²)

=> (3 + 2n-2) / {(1/6) n. (N + 1). (2n + 1)

=> (2n + 1) / (1/6) n (n + 1) (2n + 1)

=> 6 (2n + 1) / n (n + 1) (2n + 1)

= 6 / n (n + 1) = 6 [{(n + 1) -n} / n (n + 1)]

= 6 [{1 / n} – {1 / (n + 1)}

= (6 / n) – {6 / (n + 1)}

Ahora la serie se obtiene por la diferencia de dos series cuyos enésimos términos son 6 / ny 6 / (n + 1) .Así que escribe la suma de la serie en la diferencia de dos series como

S1 = [6/1 + 6/2 + 6/3 + 6/4 + …… .6 / n] – [6/2 + 6/3 + 6/4 +… .6 / n + 6 / (n +1)]

=> S1 = todos los términos se cancelan con signos (+) y (-) solo el primer término y el último término de las series bifurcadas permanecen, es decir S1 = 6– {6 / (n + 1)}

= [{6 (n + 1) -6} / (n + 1)] = [{6n + 6–6} / (n + 1)]

= 6n / (n + 1) ans …

Answer 2

El término del numerador es parte de una serie en AP que tiene a = 3; d = 2 y enésimo término = 3 + (n-1) 2 = 3 + 2n-2 = 2n + 1

Denominador es una parte de la suma del cuadrado de los números naturales en n términos. Entonces, enésimo término = n (n + 1) (2n + 1) / 6

Por lo tanto, el enésimo término de la serie = (2n + 1) / n (n + 1) (2n + 1) / 6

= 6 / n (n + 1).

6 / n (n + 1) se puede escribir como

6 {(n + 1) -n / n (n + 1)} = 6 {1 / n – 1 / (n + 1)}

Ahora, primer término = 6 {1-1 / 2}

2do término = 6 {1 / 2-1 / 3}

3er término = 6 {1/3 -1/4}

…… ..

…… ..

50 ° término = 6 {1/50 – 1/51}

---

Agregando todos estos términos, obtenemos

Suma = 6 {1-1 / 51} = 6 × 50/51 = 100 / 17.Ans.

Answer 3

La serie dada se puede definir como

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_1 ^ n \ dfrac {2n + 1} {\ sum_1 ^ nn ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica S_m = \ dfrac {(2m + 1)} {\ dfrac {m (m + 1) (2m + 1)} {6}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica S_m = \ dfrac {6} {m (m + 1)} = 6 \ cdot \ left (\ dfrac {1} {m} – \ dfrac {1} {m + 1} \ right) [ /matemáticas]

Para una suma de n = 50 términos o cualquier otro término, todos los términos excepto el primero de 6 / my el último de 6 / (m + 1) se cancelarán y

[matemáticas] Suma = 6- 6 / (n + 1) = \ dfrac {6n} {n + 1} = \ dfrac {300} {51} [/ matemáticas] para n = 50

Answer 4

enésimo término (Tn) = [enésimo término de3,5,7,9… series] / (enésimo término de 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 +… .. + n ^ 2)

Tn = {3+ (n-1) .2} / (sigma n ^ 2)

Tn = (2n + 1) / (n / 6) (n + 1) (2n + 1)

Tn = 6 / {n. (N + 1)}

6 / {n (n + 1)} = A / n + B / (n + 1)

6 = A (n + 1) + Bn

6 = n (A + B) + A

A + B = 0 y A = 6,

6 + B = 0 => B = -6

Tn = 6 / n – 6 / (n + 1), pon n = 1,2,3,4, ……… .n

T1 = 6/1 – 6/2

T2 = 6/2 – 6/3

T3 = 6/3 – 6/4

T4 = 6/4 -6/5

…………………

…………………

Tn = 6 / n – 6 / (n + 1)

Añadiendo…

T1 + T2 + T3 + T4 + …… ..Tn = 6/1 – 6 / (n + 1) = 6n / (n + 1)

Sn = 6n / (n + 1)

Para la suma de 50 términos ponga n = 50

Suma de 50 términos = 6 × 50/51 = respuesta 100/17

.

Answer 5