¿Qué es [math] x [/ math] igual cuando [math] \ ln (x) [/ math] es igual a [math] \ log_ {10} (x) [/ math], usando números reales? Lo sé, es uno, simplemente no puedo entender cómo abordar el problema.

Primero una observación sobre notación / terminología. “[Matemática] \ ln (x) [/ matemática]” denota clara e inequívocamente el logaritmo natural (logaritmo a base [matemática] e [/ matemática]) de [matemática] x [/ matemática]. Del mismo modo, “[math] \ log_ {10} (x) [/ math]” denota clara e inequívocamente el logaritmo a la base 10 de [math] x [/ math]. El uso de cualquiera de estos debe ser agradable y claro para todos, y de hecho esto es recomendado por ISO para máxima claridad al compartir expresiones matemáticas. “[Matemática] \ log (x) [/ matemática]” es un asunto diferente: esto indica un logaritmo, pero no deja claro qué significa base. En los contextos matemáticos más avanzados, se supondría que es el logaritmo natural, es decir , [matemática] \ ln (x) [/ matemática], porque nadie realmente usa otra cosa para ser honesto. Pero en algunos contextos matemáticos elementales se podría suponer que significaba el logaritmo de la base 10. Si escribe “[math] \ log (x) [/ math]”, siempre es mejor incluir una nota para especificar a qué base se refiere . Alternativamente, quédese con “[math] \ ln (x) [/ math]” y “[math] \ log_ {10} (x) [/ math]” y nunca habrá ninguna duda.

Ahora para resolver: [math] \ ln (x) = \ log_ {10} (x) [/ math]

Recuerde que [math] \ log_a (c) \ equiv \ dfrac {\ log_b (c)} {\ log_b (a)} [/ math]. Esta es la relación que usamos a menudo para convertir logaritmos de una base a otra.

[matemáticas] \ por lo tanto \ log_ {10} (x) = \ dfrac {\ ln (x)} {\ ln (10)} [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas] es solo el logaritmo a base [matemática] e [/ matemática] de [matemática] x [/ matemática]).

Entonces [math] \ ln (x) = \ log_ {10} (x) \ implica \ ln (x) = \ dfrac {\ ln (x)} {\ ln (10)} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ ln (10) \ ln (x) = \ ln (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ ln (x) \ left (\ ln (10) – 1 \ right) = 0 [/ math]

entonces [math] \ ln (10) = 1 [/ math] o [math] \ ln (x) = 0 [/ math], pero [math] \ ln (10) \ aprox 2.3026 \ ne 1 [/ math ] entonces debemos tener [math] \ ln (x) = 0 [/ math]

Ahora [matemáticas] x = e ^ {\ ln (x)} [/ matemáticas] (por definición de logaritmos), y [matemáticas] \ ln (x) = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ por lo tanto x = e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Tenemos: [matemáticas] \ ln (x) = \ log_ {10} (x) [/ matemáticas]

[math] \ ln (x) [/ math] es una forma más simple de escribir [math] \ log_ {e} (x) [/ math]:

[math] \ Rightarrow \ log_ {e} (x) = \ log_ {10} (x) [/ math]

Ahora, podemos cambiar la base de cualquier lado de la ecuación.

Cambiemos la base de [math] \ log_ {e} (x) [/ math]:

[matemática] \ Rightarrow \ frac {\ log_ {10} (x)} {\ log_ {10} (e)} = \ log_ {10} (x) [/ math]

Luego, multipliquemos ambos lados de la ecuación por [math] \ log_ {10} (e) [/ math]:

[math] \ Rightarrow \ log_ {10} (x) = \ log_ {10} (e) \ log_ {10} (x) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ log_ {10} (e) \ log_ {10} (x) – \ log_ {10} (x) = 0 [/ math]

Podemos factorizar [math] \ log_ {10} (x) [/ math]:

[math] \ Rightarrow \ log_ {10} (x) \ big (\ log_ {10} (e) -1 \ big) = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ log_ {10} (x) = 0 [/ math]

Usando las leyes de los logaritmos:

[matemáticas] \ Flecha derecha x = 10 ^ {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución a la ecuación es [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] lnx = logx [/ matemáticas]

[matemáticas] log_ {e} x = log_ {10} x ~~~~~~~~~ (1) [/ matemáticas]

Deje que [math] log_ {e} x = y [/ math]

[matemáticas] x = e ^ y [/ matemáticas]

[matemáticas] Deje log_ {10} x = w [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 10 ^ w [/ matemáticas]

[matemáticas] Por lo tanto, e ^ y = 10 ^ w [/ matemáticas]

Pero de [matemáticas] (1) y = w [/ matemáticas]

[matemáticas] Así: [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ y = 10 ^ y [/ matemáticas]

[matemáticas] Pero e \ ne 10 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] ~~ y = 0 ~ [/ matemáticas] como solo entonces [matemáticas] ~~ e ^ y = 10 ^ y [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] ~~ log_ {e} x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

Deje que su valor común sea y. Entonces [matemática] e ^ y = x = 10 ^ y. [/ Matemática] Por lo tanto [matemática] \ bigg ([/ matemática] [matemática] \ dfrac {10} {e} \ bigg) ^ y = 1 [/ matemática ] de la cual [matemática] y = 0 [/ matemática] y así [matemática] x = 1. [/ matemática]

Comencemos con un número real positivo x (ya que la función de registro se define sobre números reales positivos) tal que

ln (x) = log (x)

Como, ln (x) = 2.303 * log (x) la ecuación anterior se convierte en

2.303 * log (x) = log (x)

lo que da, 1.303 * log (x) = 0

Como 1.303 no es cero, log (x) = 0.

Lo que junto con la función de registro siendo 1–1 implica inmediatamente que x = 1.

[matemáticas] 10 ^ {\ ln x} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] (e ^ {\ ln 10}) ^ {\ ln x} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {{\ ln 10} {\ ln x}} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln x = {\ ln 10} {\ ln x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln x – {\ ln 10} {\ ln x} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ ln x) (\ ln e – \ ln 10) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ 0 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = x [/ matemáticas]

Cada gráfico logarítmico cruza el eje x en un punto (1,0) sin importar la base que sea, por lo que al usar esa información y saber que donde las ecuaciones interceptan gráficamente es cuando ambas ecuaciones son iguales, podemos deducir que x = 1) Esperemos que esto tenga sentido.

Dejar

log 10 (x) = ln (x) = N

=> 10 ^ N = e ^ N —— [de la definición de logaritmo]

que solo es posible cuando N es 0

=> log10 (x) = ln (x) = 0

en cualquier caso, el valor de x debe ser ‘1’

por lo tanto, cuando log10 (x) = ln (x) la x es igual a 1

¡Haz tu propia tarea!

Mire las gráficas o considere las funciones exponenciales correspondientes. Tenga en cuenta que estas funciones son uno a uno.

La función de registro siempre pasa por el punto (1,0) independientemente de la base.