Primero una observación sobre notación / terminología. “[Matemática] \ ln (x) [/ matemática]” denota clara e inequívocamente el logaritmo natural (logaritmo a base [matemática] e [/ matemática]) de [matemática] x [/ matemática]. Del mismo modo, “[math] \ log_ {10} (x) [/ math]” denota clara e inequívocamente el logaritmo a la base 10 de [math] x [/ math]. El uso de cualquiera de estos debe ser agradable y claro para todos, y de hecho esto es recomendado por ISO para máxima claridad al compartir expresiones matemáticas. “[Matemática] \ log (x) [/ matemática]” es un asunto diferente: esto indica un logaritmo, pero no deja claro qué significa base. En los contextos matemáticos más avanzados, se supondría que es el logaritmo natural, es decir , [matemática] \ ln (x) [/ matemática], porque nadie realmente usa otra cosa para ser honesto. Pero en algunos contextos matemáticos elementales se podría suponer que significaba el logaritmo de la base 10. Si escribe “[math] \ log (x) [/ math]”, siempre es mejor incluir una nota para especificar a qué base se refiere . Alternativamente, quédese con “[math] \ ln (x) [/ math]” y “[math] \ log_ {10} (x) [/ math]” y nunca habrá ninguna duda.
Ahora para resolver: [math] \ ln (x) = \ log_ {10} (x) [/ math]
Recuerde que [math] \ log_a (c) \ equiv \ dfrac {\ log_b (c)} {\ log_b (a)} [/ math]. Esta es la relación que usamos a menudo para convertir logaritmos de una base a otra.
[matemáticas] \ por lo tanto \ log_ {10} (x) = \ dfrac {\ ln (x)} {\ ln (10)} [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas] es solo el logaritmo a base [matemática] e [/ matemática] de [matemática] x [/ matemática]).
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Entonces [math] \ ln (x) = \ log_ {10} (x) \ implica \ ln (x) = \ dfrac {\ ln (x)} {\ ln (10)} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ ln (10) \ ln (x) = \ ln (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto \ ln (x) \ left (\ ln (10) – 1 \ right) = 0 [/ math]
entonces [math] \ ln (10) = 1 [/ math] o [math] \ ln (x) = 0 [/ math], pero [math] \ ln (10) \ aprox 2.3026 \ ne 1 [/ math ] entonces debemos tener [math] \ ln (x) = 0 [/ math]
Ahora [matemáticas] x = e ^ {\ ln (x)} [/ matemáticas] (por definición de logaritmos), y [matemáticas] \ ln (x) = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ por lo tanto x = e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]