El teorema fundamental del álgebra establece que para un polinomio de grado n, hay n raíces. Estas raíces pueden ser complejas o pueden ser reales.
El teorema significa que para [matemática] x ^ 3 [/ matemática] hay 3 valores posibles que x puede tomar. Para [math] x ^ 6 [/ math] hay 6 valores posibles que x puede tomar.
Sin embargo, en el contexto del problema, x solo puede tomar cuatro valores. Para ver esto, considere una sustitución u = [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]
Entonces la ecuación se convierte en u + u = u2 [matemáticas] u + u = u2 [/ matemáticas] o 2u = u2 [matemáticas] 2u = u2 [/ matemáticas]
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Como esto lo convierte en un polinomio de grado dos, solo hay dos soluciones, y para la ecuación anterior, estas dos soluciones son bastante obvias.
Como u multiplica ambos lados de la ecuación, 0 es una solución. Cualquier cosa multiplicada por 0 sigue siendo cero, por lo que dado que u multiplica ambos lados de la ecuación, si fuera cero, cualquier otra cosa que hubiera a ambos lados de la ecuación no importaría. Y dado que la raíz cúbica de u es x (por definición de u), y la raíz cúbica de 0 sigue siendo 0, 0 es una solución.
En cuanto a la segunda solución, la ecuación nos dice que u es un número, de modo que cuando se multiplica por sí mismo, es igual a 2 veces u. Obviamente, si u es 2, entonces 2u se multiplicaría por sí mismo. Y dado que queremos la raíz cúbica de u, otra solución es la raíz cúbica de dos.
Para la ecuación [matemáticas] u + u = u2 [/ matemáticas] solo hay dos soluciones según el teorema fundamental del álgebra. Sin embargo, al hacer la sustitución [matemática] u = x ^ 3 [/ matemática], uno también debe resolver los posibles valores de x, después de encontrar los valores para u.
Puede tomar los valores 0 o 2, por lo que hay dos ecuaciones más que resolver para encontrar x: [matemáticas] x ^ 3 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 3 = 2. [/ matemáticas]
La primera ecuación se resuelve fácilmente, porque el único cubo que es igual a 0 es 0 en sí mismo.
La segunda ecuación tiene 3 soluciones, según el teorema fundamental del álgebra. Ya se ha encontrado una de las soluciones, y es la raíz cúbica de 2. Las otras dos soluciones tienen una parte imaginaria distinta de cero.
Para resolver la ecuación, considere un número complejo z, módulo r y argumento ø, tal que:
[matemáticas] z ^ 3 = 2 [/ matemáticas]
Como [matemáticas] z = r cis ø [/ matemáticas] donde cis ø representa cos ø + j sinø, donde j es la unidad imaginaria, se puede escribir [matemáticas] z ^ 3 [/ matemáticas] como [matemáticas] r ^ 3 cis 3ø [/ math], usando el teorema de de Moivre.
Si la expresión anterior se equipara a 2 y se divide en componentes reales e imaginarios, uno tiene:
[matemáticas] r ^ 3 cos 3ø = 2 [/ matemáticas]
[matemática] r ^ 3 sen 3ø = 0 [/ matemática] y dado que el módulo no puede ser cero, sen 3ø = 0
La solución a la última ecuación es 3ø = 0. Sin embargo, hay un número infinito de soluciones para cualquiera de las ecuaciones, ya que sumar 2π a 3ø dará la misma respuesta. Así, en realidad, la solución sería 3ø = 0 + 2πk, donde k es un número entero que comienza en 0. Sin embargo, dado que se sabe por el teorema fundamental del álgebra que solo hay tres soluciones para la raíz cúbica de 2, solo tres Se necesitan diferentes ángulos. Por lo tanto, solo se necesitan los primeros tres valores de k -0, 1 y 2-. La solución para la ecuación es por lo tanto:
3ø = 0 o 2π o 4π
ø = 0 o 2/3 π o 4/3 π.
Tomar ø = 0 produce la primera solución, a saber, que z es completamente real y es la raíz cúbica de dos.
Sin embargo, tomando ø = 2/3 π, uno tiene:
[matemáticas] z = r (cos 2 / 3π) + r (j sen 2/3 π) [/ matemáticas]
donde r es la raíz cúbica de 2, ya que cos 3ø = 1 y [matemáticas] r ^ 3 cos 3ø = 2 [/ matemáticas], independientemente de cuál de los tres valores de ø se utilice.
cos 2π / 3 es igual a la mitad negativa, y sen 2π / 3 es igual a √3 / 2.
Por lo tanto, una tercera solución es:
[matemáticas] 2 ^ {(1/3)} (-1/2 + √3 / 2 j) [/ matemáticas]
Un polinomio se puede escribir en términos de los productos de sus raíces, en la forma (x – a) (x – b) (x – c) … donde a y byc son la raíz del polinomio.
Por lo tanto, el componente imaginario de las raíces debe cancelarse, ya que si este componente imaginario no se cancela, los coeficientes del polinomio serían imaginarios.
Cancelar la parte imaginaria de un número complejo a través de la multiplicación requiere multiplicar el número por su conjugado. En otras palabras, para cancelar el jb en a + jb, uno debe multiplicarlo por a – jb.
Dado que el polinomio que estamos tratando de resolver, es decir, la raíz cúbica de dos tiene una raíz compleja con un componente imaginario distinto de cero, el conjugado de la raíz compleja también debe ser una solución.
En otras palabras,
[matemáticas] 2 ^ {(1/3)} (-1/2 – √3 / 2 j) [/ matemáticas]
es la tercera solución a la ecuación [matemáticas] 2 = x ^ 3 [/ matemáticas] y la cuarta a [matemáticas] 2x ^ 3 = x ^ 6 [/ matemáticas]
Por supuesto, la última solución podría resolverse dejando ø = 4π / 3, pero resolver usando el teorema de la raíz conjugada compleja es más rápido.
Gracias a Ricky Desper y Alec Brady por señalar el error en la respuesta original. Perdón por cualquier confusión causada por ese error.
