Simplemente considere acercarse a [math] 0 [/ math] a lo largo de la siguiente secuencia de valores para [math] x [/ math]:
[matemáticas] \ frac {2} {\ pi}, \ frac {2} {3 \ pi}, \ frac {2} {5 \ pi}, \ dots \ frac {2} {(2i + 1) \ pi }, \ puntos [/ matemáticas]
Claramente para estos valores sucesivos de [matemática] x [/ matemática], [matemática] \ sin (\ frac {1} {x}) [/ matemática] alterna entre [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ math], mientras que [math] x \ to 0 [/ math]. Hay infinitos puntos en los que se alcanza cada extremo en cualquier intervalo abierto de la forma [matemática] (0, y) [/ matemática] con [matemática] y> 0 [/ matemática]. Esto hace un llamamiento a la propiedad de los números reales de Arquímedes.
Simplemente seleccione [matemática] 0 <\ epsilon <\ frac {1} {2} [/ matemática] (podría usar [matemática] 1 [/ matemática] aquí, en lugar de [matemática] \ frac {1} {2} [ / math], pero no hay razón para obtener el resultado más ajustado posible).
- ¿Puede [matemáticas] x ^ 3 + x ^ 3 = x ^ 6 [/ matemáticas] ser verdad?
- ¿Cuál es la suma de 50 términos de la serie [matemáticas] \ frac {3} {1 ^ 2} + \ frac {5} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {7} {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2} + \ ldots [/ math]?
- Sea f: RR definido como f (x) = 2x-3/5 y sea una función invertible. ¿Qué es f ^ -1?
- Si [matemática] x ^ 2-y ^ 2 = 84 [/ matemática] con [matemática] x, y \ in \ mathbb {Z ^ +}, [/ matemática] ¿Cuántos valores tiene [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] tiene?
- ¿Qué es 27 ^ (27 ^ 27) mod 8?
Si [math] \ lim_ {x \ to 0} [/ math] [math] \ sin (\ frac {1} {x}) = y [/ math], debe ser posible elegir un [math] \ delta > 0: | x | <\ delta \ implica | \ sin (\ frac {1} {x}) – y | <\ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Sin embargo, eso significa que [math] \ sin (\ frac {1} {x}) [/ math] en el intervalo [math] (0, \ delta) [/ math] no puede salir del intervalo [math] (y – \ frac {1} {2}, y + \ frac {1} {2}) [/ math], y la diferencia máxima entre valores es menor que [math] 1 [/ math]. Pero ya hemos visto que para cualquier [matemática] \ delta> 0 [/ matemática], el intervalo [matemática] (0, \ delta) [/ matemática] incluye un punto (de hecho, infinitamente muchos puntos) donde el valor es [matemática] 1 [/ matemática], y un punto (de hecho, infinitos puntos) donde es [matemática] -1 [/ matemática], entonces la diferencia máxima es al menos [matemática] 2 [/ matemática].
Dicho de otro modo, aún atractivo para la propiedad de Archimedean, excluir estos extremos requiere elegir [math] \ delta = 0 [/ math], pero [math] \ delta [/ math] debe ser positivo.