¿Qué significa la suma [matemáticas] \ frac {x} {1-x ^ 2} + \ frac {x ^ 2} {1-x ^ 4} + \ frac {x ^ 4} {1-x ^ 8} + \ cdots [/ math] convergen a?

Answer 1

Tenemos,

[matemáticas] \ begin {align} S = \ frac {x} {1-x ^ 2} + \ frac {x ^ 2} {1-x ^ 4} + \ cdots + \ frac {x ^ {2 ^ n} } {1 – x ^ {2 ^ {n + 1}}} \\\ end {align} \ tag * {} [/ math]

Observe cómo al agrupar pares de términos inteligentemente, [matemáticas] S [/ matemáticas] también se puede escribir como,

[matemáticas] \ begin {align} \ left (\ frac {1} {1 – x} – \ frac {1} {1 – x ^ 2} \ right) + \ left (\ frac {1} {1 – x ^ 2} – \ frac {1} {1 – x ^ 4} \ right) + \ cdots + \ left (\ frac {1} {1 – x ^ {2 ^ n}} – \ frac {1} {1 – x ^ {2 ^ {n + 1}}} \ right) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

No será difícil notar cómo todos los términos excepto [matemática] \ frac {1} {1-x} [/ matemática] y [matemática] \ frac {-1} {1-x ^ {2 ^ {n +1}}} [/ math] cancelar, por lo que nuestra suma puede reescribirse como,

[matemáticas] \ begin {align} S = \ frac {1} {1-x} – \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {n + 1}}} \ end {align} \ tag * { }[/matemáticas]

Como nuestra suma es una suma infinita [math] n [/ math] tenderá al infinito, por eso [math] \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {n + 1}}} [/ math] tenderá a [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

En total, nuestra suma [matemáticas] S [/ matemáticas] se puede escribir como,

[matemáticas] \ begin {align} \ boxed {S ​​= \ frac {1} {1-x} -1 = \ frac {x} {1-x}} \ end {align} \ tag * {} [/ math ]

Answer 2

Se pueden agregar ceros a los numeradores de los sumandos de esta manera

[matemáticas] \ dfrac {x + 1-1} {1-x ^ 2} + \ dfrac {x ^ 2 + 1-1} {1-x ^ 4} + \ dfrac {x ^ 4 + 1-1} {1-x ^ 8} + \ cdots [/ math]

Llegar

[matemáticas] \ frac {1} {1-x} – \ frac {1} {1-x ^ 2} + \ frac {1} {1-x ^ 2} – \ frac {1} {1-x ^ 4} + \ frac {1} {1-x ^ 4} – \ frac {1} {1-x ^ 8} + \ cdots = \ frac {1} {1-x} \ quad (*) [/ math ]

ya que esta es una suma telescópica. Aparentemente, pero falso. Porque:

Definamos la suma parcial

[matemática] \ displaystyle S_n: = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ {2 ^ k}} {1-x ^ {2 ^ {k + 1}}} [/ math]

Con el mismo truco que el anterior se obtiene

[matemáticas] \ displaystyle S_n = \ frac {1} {1-x} – \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {n + 1}}} [/ matemáticas]

que está en el límite [math] n \ to \ infty [/ math]

[matemáticas] S_ \ infty = \ dfrac {1} {1-x} -1 = \ dfrac {x} {1-x} [/ matemáticas]

¿Por qué la diferencia con [matemáticas] (*) [/ matemáticas]? Debido a que uno tiene que usar los sumandos * completos * en la suma parcial, no solo las partes. Entonces uno no puede dividir el último sumando de la suma parcial y “olvidar” la segunda parte. Las series solo se definen como el límite de las sumas parciales.

Por supuesto, el radio de convergencia es [matemática] 1 [/ matemática], es decir, [matemática] 0 \ le | x | <1 [/ matemática].

Answer 3

No es difícil encontrar una expresión de forma cerrada para las series anteriores en el numerador de cada término individual, suma y resta 1. Luego, usando la identidad 1-x ^ 2 = (1-x) (1 + x) divide cada término como diferencia de dos términos Puedes ver que después de muchas cancelaciones obtienes una expresión simple. Después de esto, debe considerar los casos, ya sea x estará en (-1,1) o, de lo contrario, dependiendo de ello, puede encontrar el valor límite.

Answer 4