Deje [math] p = 1 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 + \ ldots [/ math].
Si [math] \ alpha \ in \ mathbb {N} [/ math], podemos escribir una serie de Taylor para [math] p ^ \ alpha [/ math] recopilando términos en potencias crecientes de [math] x [/ matemáticas]. Es posible derivar una fórmula general para los coeficientes, pero es un poco difícil. Los primeros son realmente bastante sencillos para descubrir directamente, y el patrón pronto se aclara.
Deje [math] p ^ \ alpha = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 + \ ldots [/ math].
Solo habrá una contribución al término constante [math] b_0 [/ math]:
- [matemáticas] 1 ^ \ alpha [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] b_0 = 1 [/ matemáticas]
El término [matemática] x [/ matemática] [matemática] b_1 [/ matemática] se hace:
- [math] \ alpha [/ math] formas como [math] a_1x \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]
Entonces [matemáticas] b_1 = \ alpha \, a_1 [/ matemáticas]
El término [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] b_2 [/ matemáticas] se hace:
- [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right)} {2!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2 }[/matemáticas]
- [math] \ alpha [/ math] formas como [math] a_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]
Entonces [matemáticas] b_2 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right)} {2!} A_1 ^ 2 + \ alpha \, a_2 [/ math]
El término [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] b_3 [/ matemáticas] se hace:
- [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {3!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
- [math] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_1xa_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
- [math] \ alpha [/ math] maneras como [math] a_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]
Entonces [matemáticas] b_3 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {3!} A_1 ^ 3 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ derecha) a_1a_2 + \ alpha \, a_3 [/ math]
El término [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] [matemáticas] b_4 [/ matemáticas] se hace:
- [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {4!} [/ math] formas como [ matemática] \ left (a_1x \ right) ^ 4 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 4} [/ math]
- [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 2a_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
- [matemática] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right)} {2!} [/ math] formas como [math] \ left (a_2x ^ 2 \ right) ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ matemáticas]
- [matemática] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_1xa_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
- [math] \ alpha [/ math] formas como [math] a_4x ^ 4 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]
Entonces [matemáticas] b_4 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {4!} A_1 ^ 4 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} a_1 ^ 2 a_2 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) } {2!} A_2 ^ 2 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1 a_3 + \ alpha \, a_4 [/ math]
El término [matemáticas] x ^ 5 [/ matemáticas] [matemáticas] b_5 [/ matemáticas] se hace:
- [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right) \ left (\ alpha – 4 \ right)} { 5!} [/ Math] formas como [math] \ left (a_1x \ right) ^ 5 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 5} [/ math]
- [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {3!} [/ math] formas como [ matemática] \ left (a_1x \ right) ^ 3a_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 4} [/ math]
- [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 2a_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
- [math] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} [/ math] formas como [math] a_1x \ left (a_2x ^ 2 \ derecha) ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
- [math] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_1xa_4x ^ 4 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
- [math] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_2x ^ 2a_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
- [math] \ alpha [/ math] maneras como [math] a_5x ^ 5 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]
Entonces [matemáticas] b_5 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right) \ left (\ alpha – 4 \ right )} {5!} A_1 ^ 5 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {3!} a_1 ^ 3a_2 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} a_1 ^ 2a_3 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} a_1a_2 ^ 2 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1a_4 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) a_2a_3 + \ alpha \, a_5 [/ math]
Podemos continuar de esta manera, formando cada término dividiendo el poder de [matemáticas] x [/ matemáticas], multiplicando las combinaciones de formas de elegir los factores y dividiendo por factores para todos los términos repetidos.
Así tenemos:
[matemáticas] \ begin {align} p ^ \ alpha & = 1 + \ alpha \, a_1 x + \ alpha \ bigg [\ dfrac {\ alpha – 1} {2} a_1 ^ 2 + a_2 \ bigg] x ^ 2 \\ & \ \ \ \ + \ alpha \ bigg [\ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {6} a_1 ^ 3 + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1a_2 + a_3 \ bigg] x ^ 3 \\ & \ \ \ \ + \ alpha \ bigg [\ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {24} a_1 ^ 4 + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2} a_1 ^ 2 a_2 \\ & \ \ \ \ \ \ + \ dfrac {\ alpha – 1} {2} a_2 ^ 2 + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1 a_3 + a_4 \ bigg] x ^ 4 \\ & \ \ \ \ + \ alpha bigg [\ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right) \ left (\ alpha – 4 \ right)} { 120} a_1 ^ 5 + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {6} a_1 ^ 3a_2 \\ & \ \ \ \ \ \ + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2} a_1 ^ 2a_3 + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2} a_1a_2 ^ 2 \\ & \ \ \ \ \ \ + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1a_4 + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_2a_3 + a_5 \ bigg] x ^ 5 + \ mathrm {O} (x ^ 6) \ end {align} [/ math]