Cómo expandir [matemática] (1 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 + \ ldots) ^ {\ alpha} [/ math]

En esta respuesta, supondré que [math] \ alpha [/ math] es un entero positivo. De lo contrario, no sé cómo proceder de manera genérica.

Deje [math] P_ {N} (x): = \ sum_ {k = 0} ^ {N} a_ {k} x ^ {k} [/ math] con [math] a_ {0} = 1 [/ math ] para [matemáticas] N [/ matemáticas] un entero positivo.

Entonces, es fácil demostrar que (usando la prueba por inducción [1] por ejemplo):

[matemáticas] P_ {N} (x) ^ {2} = \ sum_ {i = 0, j = 0} ^ {N} a_ {i} a_ {j} x ^ {i + j} [/ matemáticas]

A partir de ahí, puede generalizar la fórmula para:

[matemáticas] P_ {N} (x) ^ {\ alpha} = \ sum_ {i_ {1} = 0, i_ {2} = 0, i_ {3} = 0,…, i _ {\ alpha} = 0} ^ {N} (\ prod_ {k = 1} ^ {\ alpha} a_ {i_ {k}}) x ^ {\ sum_ {k = 1} ^ {\ alpha} i_ {k}} [/ math]

Solicitud:

Deje [math] N = 1 [/ math] y [math] a_ {1} = 1 [/ math]. Vuelva a etiquetar [math] \ alpha [/ math] como [math] n [/ math] en este caso.

Luego, aplicando la fórmula anterior (el término del producto es siempre [math] 1 [/ math] ya que está hecho de elementos [math] 1 [/ math]):

[matemáticas] P_ {1} (x) ^ {n} = \ sum_ {i_ {1} = 0, i_ {2} = 0, i_ {3} = 0,…, i_ {n} = 0} ^ { 1} x ^ {\ sum_ {k = 1} ^ {n} i_ {k}} [/ math]

Así que ahora nos queda un ejercicio para enumerar de cuántas maneras diferentes podría aparecer el término [matemáticas] 1 [/ matemáticas] [matemáticas] 1, 2, 3, …, n [/ matemáticas] veces en una [matemáticas] n [/ math] lista de elementos de ceros o unos:

  • Solo hay una forma posible en la que no apareció en absoluto . Esto contribuye [matemática] 1 * x ^ {0 + 0 +… + 0} = 1 [/ matemática] (ninguna en la suma del exponente) a la suma anterior.
  • Hay [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] formas posibles en que aparece exactamente una vez (primera posición, segunda posición, …, última posición). Esto contribuye [matemática] (n-1) * x ^ {0 + 1 +… + 0} = (n-1) x [/ matemática] (solo una [matemática] 1 [/ matemática] en la suma del exponente) a La suma anterior.
  • Hay [math] \ binom {n} {k} [/ math] posibles formas en que aparece [math] k [/ math] veces. Esto contribuye [math] \ binom {n} {k} * x ^ {k} [/ math] ([math] k [/ math] unos en la suma del exponente) a la suma anterior
  • Solo hay una forma posible de que aparezca exactamente [matemáticas] n [/ matemáticas] veces en la lista. Esto contribuye [math] 1 * x ^ {1 + 1 +… + 1} = x ^ {n} [/ math] ([math] n [/ math] unos en la suma).

Así:

[matemáticas] (1 + x) ^ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} x ^ {k} [/ matemáticas]

Puede dejar que [math] x = \ frac {a} {b} [/ math] (con [math] b \ neq0 [/ math]), reorganice un poco y obtenga el teorema binomial [2].

Espero que esto haya sido útil.

Notas al pie

[1] Inducción matemática – Wikipedia

[2] Teorema binomial – Wikipedia

Tenemos una expresión [matemática] S = \ left (1+ \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ {n} x ^ {n} \ right) ^ {\ alpha} [/ math] y queremos para expandirlo a la forma [matemática] 1+ \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} b_ {n} x ^ {n} [/ matemática]. Primero use la serie Taylor de [math] \ left (1 + z \ right) ^ {\ alpha} [/ math] tal que

[matemáticas] S = \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} {\ Gamma \ left (\ alpha-k \ right) k!} \ left (\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ {n} x ^ {n} \ right) ^ {k} = 1 + \ alpha \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ { n} x ^ {n} + \ sum ^ {\ infty} _ {k = 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} {\ Gamma \ left (\ alpha-k \ right) k! } \ left (\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ {n} x ^ {n} \ right) ^ {k} [/ math]

Ahora tenga en cuenta que para [math] k \ geq1 [/ math] tenemos

[matemáticas] \ left (\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ {n} x ^ {n} \ right) ^ {k} = \ prod ^ {k} _ {i = 1} \ sum ^ {\ infty} _ {n_ {i} = 1} \ prod ^ {k} _ {j = 1} a_ {n_ {j}} x ^ {n_ {j}} [/ math]

Ahora hacemos un cambio variable y en lugar de [matemáticas] n_ {k} [/ matemáticas] sumamos sobre [matemáticas] m = \ sum ^ {k} _ {i = 1} n_ {i} [/ matemáticas] de modo que

[matemáticas] \ left (\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ {n} x ^ {n} \ right) ^ {k} = \ sum ^ {\ infty} _ {m = k} x ^ {m} \ prod ^ {k-1} _ {i = 1} \ sum ^ {m- \ sum ^ {i-1} _ {j = 1} n_ {j}} _ {n_ {i} = 1} a_ {m- \ sum ^ {m} _ {l = 1} n_ {l}} \ prod ^ {k} _ {j = 1} a_ {n_ {j}} [/ math]

En otras palabras, el coeficiente de [matemática] x ^ {m} [/ matemática] en esta suma es la suma de todos los productos posibles de [matemática] k [/ matemática] [matemática] a_ {n} [/ matemática] cuyo índice de suma a [matemáticas] m [/ matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] S = 1 + \ alpha \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ {n} x ^ {n} + \ sum ^ {\ infty} _ {k = 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} {\ Gamma \ left (\ alpha-k \ right) k!} \ sum ^ {\ infty} _ {m = k} x ^ {m} \ prod ^ {k-1 } _ {i = 1} \ sum ^ {m- \ sum ^ {i-1} _ {j = 1} n_ {j}} _ {n_ {i} = 1} a_ {m- \ sum ^ {m } _ {l = 1} n_ {l}} \ prod ^ {k} _ {j = 1} a_ {n_ {j}} [/ math]

Cambiar el orden de suma entre [matemática] m [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] produce

[matemáticas] S = 1 + \ alpha \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} a_ {n} x ^ {n} + \ sum ^ {\ infty} _ {m = 2} x ^ {m} \ sum ^ {m} _ {k = 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} {\ Gamma \ left (\ alpha-k \ right) k!} \ prod ^ {k-1} _ {i = 1} \ sum ^ {m- \ sum ^ {i-1} _ {j = 1} n_ {j}} _ {n_ {i} = 1} a_ {m- \ sum ^ {m} _ {l = 1} n_ {l}} \ prod ^ {k} _ {j = 1} a_ {n_ {j}} [/ math]

Por supuesto, todo esto supone que todo converge bien y se me permite hacer

Deje [math] p = 1 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 + \ ldots [/ math].

Si [math] \ alpha \ in \ mathbb {N} [/ math], podemos escribir una serie de Taylor para [math] p ^ \ alpha [/ math] recopilando términos en potencias crecientes de [math] x [/ matemáticas]. Es posible derivar una fórmula general para los coeficientes, pero es un poco difícil. Los primeros son realmente bastante sencillos para descubrir directamente, y el patrón pronto se aclara.

Deje [math] p ^ \ alpha = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 + \ ldots [/ math].

Solo habrá una contribución al término constante [math] b_0 [/ math]:

  • [matemáticas] 1 ^ \ alpha [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] b_0 = 1 [/ matemáticas]

El término [matemática] x [/ matemática] [matemática] b_1 [/ matemática] se hace:

  • [math] \ alpha [/ math] formas como [math] a_1x \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]

Entonces [matemáticas] b_1 = \ alpha \, a_1 [/ matemáticas]

El término [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] b_2 [/ matemáticas] se hace:

  • [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right)} {2!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2 }[/matemáticas]
  • [math] \ alpha [/ math] formas como [math] a_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]

Entonces [matemáticas] b_2 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right)} {2!} A_1 ^ 2 + \ alpha \, a_2 [/ math]

El término [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] b_3 [/ matemáticas] se hace:

  • [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {3!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
  • [math] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_1xa_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
  • [math] \ alpha [/ math] maneras como [math] a_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]

Entonces [matemáticas] b_3 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {3!} A_1 ^ 3 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ derecha) a_1a_2 + \ alpha \, a_3 [/ math]

El término [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] [matemáticas] b_4 [/ matemáticas] se hace:

  • [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {4!} [/ math] formas como [ matemática] \ left (a_1x \ right) ^ 4 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 4} [/ math]
  • [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 2a_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
  • [matemática] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right)} {2!} [/ math] formas como [math] \ left (a_2x ^ 2 \ right) ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ matemáticas]
  • [matemática] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_1xa_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
  • [math] \ alpha [/ math] formas como [math] a_4x ^ 4 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]

Entonces [matemáticas] b_4 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {4!} A_1 ^ 4 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} a_1 ^ 2 a_2 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) } {2!} A_2 ^ 2 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1 a_3 + \ alpha \, a_4 [/ math]

El término [matemáticas] x ^ 5 [/ matemáticas] [matemáticas] b_5 [/ matemáticas] se hace:

  • [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right) \ left (\ alpha – 4 \ right)} { 5!} [/ Math] formas como [math] \ left (a_1x \ right) ^ 5 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 5} [/ math]
  • [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {3!} [/ math] formas como [ matemática] \ left (a_1x \ right) ^ 3a_2x ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 4} [/ math]
  • [matemáticas] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} [/ math] formas como [matemáticas] \ left (a_1x \ right) ^ 2a_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
  • [math] \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} [/ math] formas como [math] a_1x \ left (a_2x ^ 2 \ derecha) ^ 2 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 3} [/ math]
  • [math] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_1xa_4x ^ 4 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
  • [math] \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) [/ math] formas como [math] a_2x ^ 2a_3x ^ 3 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 2} [/ math]
  • [math] \ alpha [/ math] maneras como [math] a_5x ^ 5 \ cdot 1 ^ {\ alpha – 1} [/ math]

Entonces [matemáticas] b_5 = \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right) \ left (\ alpha – 4 \ right )} {5!} A_1 ^ 5 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {3!} a_1 ^ 3a_2 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} a_1 ^ 2a_3 + \ dfrac {\ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2!} a_1a_2 ^ 2 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1a_4 + \ alpha \ left (\ alpha – 1 \ right) a_2a_3 + \ alpha \, a_5 [/ math]

Podemos continuar de esta manera, formando cada término dividiendo el poder de [matemáticas] x [/ matemáticas], multiplicando las combinaciones de formas de elegir los factores y dividiendo por factores para todos los términos repetidos.

Así tenemos:

[matemáticas] \ begin {align} p ^ \ alpha & = 1 + \ alpha \, a_1 x + \ alpha \ bigg [\ dfrac {\ alpha – 1} {2} a_1 ^ 2 + a_2 \ bigg] x ^ 2 \\ & \ \ \ \ + \ alpha \ bigg [\ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {6} a_1 ^ 3 + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1a_2 + a_3 \ bigg] x ^ 3 \\ & \ \ \ \ + \ alpha \ bigg [\ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {24} a_1 ^ 4 + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2} a_1 ^ 2 a_2 \\ & \ \ \ \ \ \ + \ dfrac {\ alpha – 1} {2} a_2 ^ 2 + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1 a_3 + a_4 \ bigg] x ^ 4 \\ & \ \ \ \ + \ alpha bigg [\ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right) \ left (\ alpha – 4 \ right)} { 120} a_1 ^ 5 + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right) \ left (\ alpha – 3 \ right)} {6} a_1 ^ 3a_2 \\ & \ \ \ \ \ \ + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2} a_1 ^ 2a_3 + \ dfrac {\ left (\ alpha – 1 \ right) \ left (\ alpha – 2 \ right)} {2} a_1a_2 ^ 2 \\ & \ \ \ \ \ \ + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_1a_4 + \ left (\ alpha – 1 \ right) a_2a_3 + a_5 \ bigg] x ^ 5 + \ mathrm {O} (x ^ 6) \ end {align} [/ math]

y = (1 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +…) α [matemáticas] (1 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +…) α [/ matemáticas]

ln (y) = a ln (1 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +…) + a ln ([matemáticas] 1 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +…) [/ matemáticas]

ln (y) = 2 a ln (1 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +…)

y = exp (2 a ln (1 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +…))

Donde: ln es el logaritmo natural & e = 2.718281828 …, la base de los registros naturales.

No estaba tartamudeando en 18281828 …