¿Cuál es la solución de [math] \ hbox {Real} \ left (\ dfrac {ZA} {ZB} \ right) = 0 [/ math]. [matemática] Z, A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​números complejos (A diferente de B)?

Answer 1

A2A: ¿Cuál es la solución de [math] \ text {Re} \ left (\ dfrac {ZA} {ZB} \ right) = 0 [/ math] , donde [math] Z, A [/ math] y [math ] B \ in \ C, A \ ne B? [/ Math]

Sea [math] Z = x + \ mathrm iy, A = a + \ mathrm ib, [/ math] y [math] B = c + \ mathrm id [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ begin {align} \ dfrac {ZA} {ZB} & = \ dfrac {xa + \ mathrm i (yb)} {xc + \ mathrm i (yd)} \\ & = \ dfrac {( xa + \ mathrm i (yb)) (xc – \ mathrm i (yd))} {(xc) ^ 2 + (yd) ^ 2} \\ & = \ dfrac {(x \! – \! a) ( x \! – \! c) \! + \! (y \! – \! b) (y \! – \! d) \! + \! \ mathrm i (y \! – \! b) (x \! – \! c) \! – \! \ mathrm i (y \! – \! d) (x \! – \! a)} {(xc) ^ 2 + (yd) ^ 2} \ end { alinear} [/ math]

Ahora, recogiendo las partes reales y descartando las partes imaginarias,

[matemáticas] \ qquad \ text {Re} \ left (\ dfrac {ZA} {ZB} \ right) = \ dfrac {(xa) (xc) + (yb) (yd)} {(xc) ^ 2 + ( yd) ^ 2} [/ math]

Mientras [math] Z \ ne B, \ text {Re} \ left (\ dfrac {ZA} {ZB} \ right) = 0 [/ math] exactamente cuando el numerador, arriba, es cero:

[matemáticas] \ qquad (xa) (xc) + (yb) (yd) = 0, [/ matemáticas]

que puede reconocer como la “forma de diámetro” de la ecuación de un círculo. Si lo haces, hemos terminado. La solución a la pregunta es que [math] Z [/ math] es el conjunto de puntos en el círculo cuyo diámetro es [math] AB. [/ Math] (excepto [math] B [/ math] no está en el conjunto de soluciones, porque haría que el denominador [math] ZB [/ math] sea cero).

Por otro lado, si no está familiarizado con la “forma de diámetro” de la ecuación de un círculo, no dude en seguir leyendo.

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Lema: [matemática] (xa) (xc) + (yb) (yd) = 0 [/ matemática] es la ecuación de un círculo cuyo diámetro tenía puntos finales [matemática] (a, b) [/ matemática] y [matemática] (c, d). [/ matemáticas]

Prueba: si estás tan inclinado, puedes hacer un poco de álgebra para poner la ecuación en la forma de centro y radio “estándar”, pero tengo una demostración aún mejor que podrías disfrutar. Detente si has escuchado esto antes …

Suponga que recibe puntos [matemática] (a, b) [/ matemática] y [matemática] (c, d) [/ matemática] como los puntos finales de un diámetro de un círculo. Es una propiedad de un círculo que un triángulo formado por cualquier punto del círculo y un diámetro del círculo sea un triángulo rectángulo, y lo contrario también es cierto. (Puede encontrar en Internet muchas pruebas geométricas de que un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] inscrito en un círculo es la mitad del ángulo central [matemático] 2 \ theta [/ matemático] que subraya el mismo arco en el círculo.) [1]

Deje que [math] (x, y) [/ math] sea un punto arbitrario en el círculo, y recuerde que nos dieron puntos fijos [math] (a, b) [/ math] y [math] (c, d) [/ math] como los puntos finales del diámetro.

Entonces, las pendientes de las patas del triángulo rectángulo formado por estos tres puntos son [matemáticas] \ dfrac {yb} {xa} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {yd} {xc}. [/ Matemáticas] El producto de estas pendientes es [matemática] -1 [/ matemática] porque las patas de un triángulo rectángulo son perpendiculares, entonces

[matemáticas] \ qquad \ dfrac {yb} {xa} ~~~ \ times ~~~ \ dfrac {yd} {xc} ~~ = ~~ -1 [/ matemáticas]

Si [matemática] x = a [/ matemática] o [matemática] x = c, [/ matemática] entonces dibuje el rectángulo (posiblemente degenerado, si el diámetro es vertical u horizontal) formado por las líneas [matemática] x = a, [/ matemática] [matemática] x = c, [/ matemática] [matemática] y = b, [/ matemática] y [matemática] y = d, [/ matemática] y observe ese punto [matemática] (x, y) [/ math] es una de las esquinas de ese rectángulo, en cuyo caso [math] (yb) (yd) [/ math] y [math] (xa) (xc) [/ math] son ​​ambos cero y [math ] (x, y) [/ math] es una solución a la ecuación del círculo. De otra manera,

[matemáticas] \ qquad (yb) (yd) = – (xa) (xc) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad (xa) (xc) + (yb) (yd) = 0 [/ matemáticas]

y eso completa la prueba.

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También vale la pena señalar que si [math] \ text {Re} \! \ Left (\ dfrac {z_1} {z_2} \ right) = 0, [/ math] es decir [math] \ text {arg} \! \ Left (\ dfrac {z_1} {z_2} \ right) [/ math] [math] = [/ math] [math] \ text {arg} (z_1) – \ text {arg} (z_2) [/ math] [math ] = [/ matemática] [matemática] \ pm \ dfrac {\ pi} {2}, [/ matemática] luego [matemática] z_1 [/ matemática] y [matemática] z_2, [/ matemática] vistos como vectores en el argumento plano, son perpendiculares. Entonces, si estos vectores comienzan en un punto arbitrario, [matemáticas] Z, [/ matemáticas] y terminan en puntos fijos [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B, [/ matemáticas] los vectores pueden tomarse como patas de un triángulo rectángulo, por lo tanto, el lugar geométrico de [matemáticas] Z [/ matemáticas] es un círculo (o la mayoría de un círculo, de todos modos) cuyo diámetro es [matemáticas] AB. [/ matemáticas]

Notas al pie

[1] Ángulo inscrito – Wikipedia

Answer 2

Ya hay dos buenas respuestas, Quora User y Graeme McRae. Pero odio desperdiciar mi trabajo, así que aquí hay un enfoque un poco más simple. Primero hagamos este problema similar:

[matemática] \ text {Re} \ left (\ dfrac {ZC} {Z + C} \ right) = 0 [/ math] , donde [math] Z, C [/ math] [matemáticas] \ en \ C [/ matemáticas]

Deje [math] Z = x + \ mathrm iy, C = a + \ mathrm ib [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ begin {align} \ dfrac {ZC} {Z + C} & = \ dfrac {xa + \ mathrm i (yb)} {x + a + \ mathrm i (y + b)} \\ & = \ dfrac {(xa + \ mathrm i (yb)) (x + a – \ mathrm i (y + b))} {\ text {un número real}} \\ & = \ dfrac {(xa) ( x + a) \! + \! (yb) (y + b) \! + \! \ mathrm i (\ text {un número real})} {\ text {un número real}} \ end {align} [ /matemáticas]

Ahora, estableciendo la parte real en 0 (podemos ignorar todos los “números reales”):

[matemáticas] \ qquad (x ^ 2-a ^ 2) + (y ^ 2-b ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

Cuál es el círculo centrado en el origen, pasando por C y -C:

[matemáticas] \ qquad x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

Por supuesto, el punto -C no está realmente incluido ya que en el problema original se dividiría por 0.

Ahora, volviendo al problema original, tenga en cuenta que si cambiamos la variable

U = Z – (A + B) / 2, es decir, Z = U + (A + B) / 2

Se transforma en el problema más simple que acabamos de resolver, con

C = (AB) / 2

Que es, nuevamente, un círculo que pasa por los dos puntos (excepto Z = B) y se centra en U = 0 o

Z = (A + B) / 2

Answer 3

Puedes usar algo de geometría y álgebra lineal para resolver esto.

La parte real de un número complejo es [matemática] 0 [/ matemática] cuando su ángulo es un ángulo recto.

Por lo tanto, el cociente de dos números complejos tendrá un ángulo recto cuando el ángulo entre esos dos números sea un ángulo recto.

Entonces, el ángulo entre los vectores [matemática] za [/ matemática] y [matemática] zb [/ matemática] es un ángulo recto. En otras palabras, el triángulo con vértices en [matemática] a, z, [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] forma un triángulo rectángulo con un ángulo recto en [matemática] z [/ matemática].

Eso significa que [matemática] z [/ matemática] se encuentra en el círculo cuyo diámetro tiene vértices en [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]. (Que un triángulo rectángulo esté inscrito en un semicírculo cuyo diámetro es la hipotenusa del triángulo a veces se llama el teorema de Thales ) .

El centro de ese círculo está a medio camino entre [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas], y su radio es la mitad de la distancia entre [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas ] Ese círculo tiene la ecuación [matemáticas] | z- \ frac12 (a + b) | ^ 2 = \ frac14 (ba) ^ 2 [/ matemáticas].

Por ejemplo, si [matemática] a = 3 [/ matemática] y [matemática] b = 5 [/ matemática], entonces [matemática] z [/ matemática] es un número complejo que se encuentra en el círculo [matemática] | z- 4 | ^ 2 = 1 [/ matemáticas].

Answer 4

Este es en realidad el círculo con los puntos finales A y B de un diámetro. Falta el punto en Z = B.

Intentemos verificar el reclamo. Mostraremos si [math] z \ ne b [/ math] está en el círculo con el centro [math] c = (a + b) / 2 [/ math] y un radio [math] | r | [/ math ] donde [matemática] r = [/ matemática] [matemática] (ab) / 2 [/ matemática] luego Re [matemática] (za) / (zb) = 0. [/ matemática] Dejé intencionalmente el valor absoluto fuera de definición de [math] r [/ math] – pronto verás por qué.

En otras palabras, mostraremos

[math] \ dfrac {za} {zb} = it \ quad [/ math] para real [math] t [/ math]

Usemos mi parametrización favorita de un círculo sin un punto. En lugar de [matemáticas] z = c + r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) [/ matemáticas], usemos

[matemáticas] z = c + r (C (t) + iS (t)) \ quad [/ matemáticas] donde

[matemáticas] C (t) = \ dfrac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] S (t) = \ dfrac {2t} {1 + t ^ 2} \ los rangos quad [/ math] y [math] t [/ math] sobre los reales.

Nosotros verificamos

[matemáticas] C ^ 2 + S ^ 2 = \ dfrac {1} {(1 + t ^ 2) ^ 2} (1 – 2t ^ 2 + t ^ 4 + 4t ^ 2) = \ dfrac {1 + 2t ^ 2 + t ^ 4} {1 + 2t ^ 2 + t ^ 4} = 1 \ quad \ marca de verificación [/ math]

entonces [matemática] z = c + r (C + iS) [/ matemática] es un círculo con centro [matemática] c [/ matemática], radio [matemática] | r | [/ matemática] y punto faltante [matemática] z = cr = (a + b) / 2- (ab) / 2 = b. [/ matemáticas]

[matemáticas] C + i S = \ dfrac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} + i \ cdot \ dfrac {2t} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] C + iS = \ dfrac {1-t ^ 2 + 2it} {1 + t ^ 2} = \ dfrac {(1 + it) ^ 2} {(1 + it) (1-it)} [ /matemáticas]

[matemáticas] C + iS = \ dfrac {1 + it} {1-it} [/ math]

[matemáticas] z = c + r \ cdot \ dfrac {1 + it} {1-it} [/ math]

[matemáticas] c (1-it) + r (1 + it) = z (1-it) [/ matemáticas]

[matemáticas] c + r -itc + itr = z -itz [/ matemáticas]

[matemáticas] it (z- c + r) = z – c – r [/ matemáticas]

[matemáticas] it = \ dfrac {z – c – r} {z – c + r} = \ dfrac {z – (a + b) / 2- (ab) / 2} {z – (a + b) / 2 + (ab) / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {Re} \ left (\ dfrac {z – a} {z – b} \ right) = 0 \ quad \ marca de verificación [/ math]

Nada nos impide ejecutar la derivación al revés, por lo que lo contrario también es cierto; todas las soluciones [matemática] z [/ matemática] están en el círculo con un diámetro desde [matemática] a [/ matemática] a [matemática] b [/ matemática] y falta el punto [matemática] b. [/ matemática]

Answer 5

Supongo que al decir que Z, A y B son complejos, quiere decir que son puramente imaginarios. En este caso, multiplicaría ambos lados de la fracción por el conjugado complejo del denominador: [matemática] \ frac {(ZA) * (Z + B)} {(ZB) (Z + B)} = 0 [/ matemática ] La ecuación se puede frustrar para obtener [matemáticas] \ frac {(ZA) (Z + B} {Z ^ 2-B ^ 2} = 0 [/ matemáticas]. [Matemáticas] Z ^ 2-B ^ 2 [/ matemáticas ] es un número real … multiplique ambos lados por [matemática] Z ^ 2-B ^ 2 [/ matemática]. Ahora tiene [matemática] (ZA) (Z + B) = 0 [/ matemática]. Ahora puede establecer tanto [math] ZA [/ math] como [math] ZB [/ math] a cero, produciendo [math] A [/ math] y [math] -B [/ math] como raíces. Para la solución Z = A, la parte real del problema es cero. Conectar Z = -B produce una respuesta más complicada: [matemática] \ frac {-BA} {- 2B} = 0 [/ matemática]. Esto se puede expresar como [matemática] \ frac {1} {2} + \ frac {A} {2B} = 0 [/ math]. Dejemos que [math] x = \ frac {A} {2B} [/ math]; esto significa que nuestra ecuación puede ser representada como [matemática] \ frac {1} {2} + x = 0 [/ matemática]. Obteniendo x por sí mismo, obtenemos [matemática] x = \ frac {-1} {2} [/ matemática], lo que significa nuestro la parte real es cero, donde [matemática] Z = -B [/ matemática], por lo tanto, la parte real es cero.

Answer 6

Las respuestas que vi son malas enseñanzas.

La pregunta se reduce a un simple lugar_

Re (zA) = 0, z (x, y) es el punto variable, A (a, b) el punto fijo

z = A