¿Cómo es que [math] \ sqrt [8] {4} [/ math] es lo mismo que [math] \ sqrt [4] {2} [/ math]?

Answer 1

Una de las leyes de surds (cualquier raíz irracional o raíz desconocida) es esta

[matemáticas] (x ^ a) ^ b = x ^ {ab} [/ matemáticas]

Otro es este

[matemáticas] x ^ {\ frac {a} {b}} = \ sqrt [b] {x ^ a} = (\ sqrt [b] {x}) ^ a [/ matemáticas]

Estas dos leyes te ayudarán a entender esto

Empezando con:

[matemáticas] \ sqrt [8] {4} [/ matemáticas]

Podemos usar la segunda ley para poner esta expresión en una potencia fraccional:

[matemáticas] = 4 ^ {\ frac {1} {8}} [/ matemáticas]

Usando la primera ley, podemos dividir la potencia fraccional en dos fracciones. En este caso, debido a que busca la cuarta raíz, es útil dividir [math] \ frac {1} {8} [/ math] en [math] \ frac {1} {2} \ times \ frac {1} {4} [/ math], si conoces tus fracciones:

[matemáticas] = (4 ^ {\ frac {1} {2}}) ^ {\ frac {1} {4}} [/ matemáticas]

Que se convierte en

[matemáticas] = \ sqrt [4] {\ sqrt {4}} [/ matemáticas] (increíblemente feo)

Pero [matemáticas] \ sqrt {4} = 2 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] = \ sqrt [4] {2} [/ matemáticas]

Answer 2

El primero es [math] \ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {4}}} [/ math] y el lado derecho es [math] \ sqrt {\ sqrt {2}}. [/ Math] Trabajando a través del lado izquierdo , [math] \ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {4}}} = \ sqrt {\ sqrt {2}} [/ math] que es el lado derecho.

Answer 3

Como 4 = 2 ^ 2, la octava raíz de 4 es la octava raíz de 2 al cuadrado, que es la potencia de 2/8 de 2, que es la potencia de 1/4 de 2, que es la cuarta raíz de 2.