Para comenzar, ayuda recordar cuál es la fórmula de Heron. Esto sería que el área de un triángulo es [matemática] \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ matemática], donde [matemática] s = \ frac {a + b + c} {2} [/ math] y [math] a, b, c [/ math] son las tres longitudes laterales del triángulo.
Dado que se le pide que pruebe esto usando álgebra, lo primero que se le ocurre es colocar este triángulo en una cuadrícula de coordenadas:
El área de este triángulo es [math] \ frac {cy} {2} [/ math], utilizando [math] AB [/ math] a lo largo del eje [math] x [/ math] como base. Sin embargo, puede ser posible expresar [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas]. Es el caso que:
- ¿Cómo resolvemos para y: [matemáticas] x = (\ frac {\ sqrt {y} -1} {\ sqrt {y} +1}) ^ 2 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo es que [math] \ sqrt [8] {4} [/ math] es lo mismo que [math] \ sqrt [4] {2} [/ math]?
- ¿Se puede integrar [math] \ frac {\ sin x} {x} [/ math]?
- ¿Puedes expresar valores menores que 1 en binario?
- ¿Qué significa la suma [matemáticas] \ frac {x} {1-x ^ 2} + \ frac {x ^ 2} {1-x ^ 4} + \ frac {x ^ 4} {1-x ^ 8} + \ cdots [/ math] convergen a?
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = b ^ 2 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] (xc) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]
Esto debe poder resolverse para [math] x [/ math] y [math] y [/ math].
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (xc) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 – 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] \ izquierda (x ^ 2 + y ^ 2 \ derecha) – 2cx + c ^ 2 = a ^ 2 [/ matemática]
[matemática] b ^ 2 – 2cx + c ^ 2 = a ^ 2 [/ matemática] (usando [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = b ^ 2 [/ matemática], la primera ecuación)
Por cierto, esto es una expresión de la Ley de cosenos, [matemática] x [/ matemática] es [matemática] b \ cos \ izquierda (A \ derecha) [/ matemática], donde [matemática] A [/ matemática] es el ángulo en el punto [matemática] A [/ matemática]. Una prueba de esa ley es, en cierto sentido, lo que se acaba de hacer, pero al revés: comenzar con [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] y ángulo [matemáticas] A [/ matemáticas], ajuste el punto [matemática] A [/ matemática] al origen, señale [matemática] B [/ matemática] en el eje positivo [matemática] x [/ matemática], y luego use el ángulo [matemática] A [/ matemática] para obtener las coordenadas del punto [matemática] C [/ matemática], desde donde se puede encontrar la distancia desde [matemática] B [/ matemática] a [matemática] C [/ matemática].
Pero no es la ley de los cosenos buscada aquí, sino la fórmula de Heron, por lo que las ecuaciones deben continuar resolviéndose aquí.
[matemáticas] 2cx = b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2} {2c} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ sqrt {b ^ 2 – x ^ 2} [/ matemáticas]
La última expresión vino de la primera ecuación. ¿Por qué debería [math] y [/ math] ser la raíz cuadrada positiva? Esa es la que permite que el área del triángulo sea en realidad [matemática] \ frac {cy} {2} [/ matemática]. La raíz negativa podría haberse usado en su lugar, pero el área habría sido [matemática] – \ frac {cy} {2} [/ matemática] (el triángulo se voltea sobre el eje [matemática] x [/ matemática]) , con lo cual el signo negativo se cancela con el signo negativo impuesto en [math] y [/ math], y la expresión del área en términos de [math] a, b, c, x [/ math] sigue siendo la misma.
[matemáticas] x = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2} {2c} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ sqrt {b ^ 2 – \ left (\ frac {b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2} {2c} \ right) ^ 2} [/ math]
Bueno, esto al menos da una expresión para [math] \ frac {cy} {2} [/ math]:
[matemáticas] \ frac {cy} {2} = \ frac {1} {2} \ left (c \ right) \ left (\ sqrt {b ^ 2 – \ left (\ frac {b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2} {2c} \ right) ^ 2} \ right) [/ math]
La pregunta es si la fórmula de Heron se puede derivar de aquí. En otras palabras, ¿[matemáticas] \ frac {1} {2} \ left (c \ right) \ left (\ sqrt {b ^ 2 – \ left (\ frac {b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 } {2c} \ right) ^ 2} \ right) [/ math] realmente igual [math] \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ math]? Bueno, tal vez la expresión desordenada proveniente de [math] \ frac {cy} {2} [/ math] debería simplificarse; eso podría ayudar a las cosas.
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ left (c \ right) \ left (\ sqrt {b ^ 2 – \ left (\ frac {b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2} {2c} \ right) ^ 2} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (c \ right) \ left (\ sqrt {\ frac {4b ^ 2c ^ 2 – \ left (b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 \ right) ^ 2} {4c ^ 2}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ left (c \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {4b ^ 2c ^ 2 – \ left (b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 \ right ) ^ 2}} {2c} \ right) [/ math]
([math] c [/ math] podría haberse configurado como positivo al comienzo; eso habría estado de acuerdo con el diagrama).
Continuo:
[matemáticas] \ cdots = \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {4b ^ 2c ^ 2 – \ left (b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 \ right) ^ 2} \ right) [ /matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {4b ^ 2c ^ 2 – \ left (b ^ 4 + c ^ 4 + a ^ 4 + 2 b ^ 2 c ^ 2 – 2 b ^ 2 a ^ 2 – 2 a ^ 2 c ^ 2 \ right)} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {- b ^ 4 – c ^ 4 – a ^ 4 + 2 b ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 a ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ sqrt {- a ^ 4 – b ^ 4 – c ^ 4 + 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2} [/ matemáticas]
Eso es tan simplificado como se pone, si uno no quiere tratar de factorizarlo. Como se le pide que pruebe la fórmula de Heron, en lugar de derivarla, es una buena idea expandir la expresión de la fórmula de Heron y ver si coincide con lo que tenemos.
[matemáticas] \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ sqrt {\ left (\ frac {a + b + c} {2} \ right) \ left (\ frac {a + b + c } {2} -a \ right) \ left (\ frac {a + b + c} {2} -b \ right) \ left (\ frac {a + b + c} {2} -c \ right)} [/matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ left (\ frac {a + b + c} {2} \ right) \ left (\ frac {-a + b + c} {2} \ right) \ left (\ frac { a-b + c} {2} \ right) \ left (\ frac {a + bc} {2} \ right)} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ sqrt {\ left ((b + c) ^ 2 – a ^ 2 \ right) \ left (a ^ 2- (bc) ^ 2 \ right)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ sqrt {\ left (b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc – a ^ 2 \ right) \ left (a ^ 2 – b ^ 2 – c ^ 2 + 2bc \ right)} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ sqrt {\ left (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc \ right) \ left (a ^ 2 – b ^ 2 – c ^ 2 + 2bc \ right)} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {\ begin {array} -a ^ 4 + b ^ 2 a ^ 2 + c ^ 2 a ^ 2 + 2bc a ^ 2 \\ \ quad + b ^ 2 a ^ 2 – b ^ 4 – b ^ 2 c ^ 2 – 2bc b ^ 2 \\ \ quad + a ^ 2 c ^ 2 – b ^ 2 c ^ 2 – c ^ 4 – 2bc c ^ 2 \\ \ quad – 2a ^ 2 bc + 2b ^ 2 bc + 2c ^ 2 bc + 4bc bc \ end {array}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {\ begin {array} -a ^ 4 + a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + 2a ^ 2 bc \\ \ quad + a ^ 2 b ^ 2 – b ^ 4 – b ^ 2 c ^ 2 – 2b ^ 3 c \\ \ quad + a ^ 2 c ^ 2 – b ^ 2 c ^ 2 – c ^ 4 – 2 bc ^ 3 \\ \ quad – 2a ^ 2 bc + 2b ^ 3 c + 2b c ^ 3 + 4b ^ 2 c ^ 2 \ end {array}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ left (\ sqrt {\ begin {array} -a ^ 4 + 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2a ^ 2 bc \\ \ quad – b ^ 4 – 2b ^ 3 c \\ \ quad – c ^ 4 – 2 bc ^ 3 \\ \ quad – 2a ^ 2 bc + 2b ^ 3 c + 2b c ^ 3 + 2b ^ 2 c ^ 2 \ end {array}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ sqrt {-a ^ 4 + 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 – b ^ 4 – c ^ 4 + 2b ^ 2 c ^ 2 }[/matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {4} \ sqrt {-a ^ 4 – b ^ 4 – c ^ 4 + 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2} [/ matemáticas]
Esta es exactamente la fórmula que se obtuvo al encontrar el área. Por lo tanto, la fórmula de Heron realmente da el área del triángulo. QED
