Cómo integrar el pecado (x ^ 3)

Answer 1

El integrando es lo suficientemente complicado como para que no exista una función simple que dé la respuesta exacta. En tales situaciones, podemos proporcionar alternativas en forma de serie o aproximación numérica. Si bien no se proporcionan los límites de la integral, creo que lo siguiente es quizás de interés.

Dejar

[matemáticas] \ begin {align *} I (m) & = \ int_ {0} ^ {m} \ sin \ left (x ^ {3} \ right) \ mbox {} dx \ tag {1} \ end { alinear *} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] m> 0 \ en \ R [/ matemáticas]. Ahora expanda el integrando sobre [math] x = 0 [/ math] e integre término por término para dar

[matemáticas] \ begin {align *} I (m) & = \ dfrac {m ^ {4}} {4} – \ dfrac {m ^ {10}} {10 \ times 3!} + \ dfrac {m ^ {16}} {16 \ times 5!} – \ dfrac {m ^ {22}} {22 \ times 7!} + \ Dfrac {m ^ {28}} {28 \ times 9!} – \ cdots \ tag {2} \ end {align *} [/ math]

Ahora, mientras que (2) podría usarse para proporcionar una aproximación, la usaremos como una herramienta teórica, para que podamos proporcionar una aproximación más profunda.

Supongamos que [matemáticas] I (m) [/ matemáticas] también se puede aproximar utilizando el siguiente formulario

[matemáticas] \ begin {align *} I (m) & \ approx m \ left (b_ {1} \ sin \ left (m c_ {1} \ right) ^ {3} + b_ {2} \ sin \ left (m c_ {2} \ right) ^ {3} \ right) \ tag {3} \ end {align *} [/ math]

Los parámetros en (3), [matemática] b_ {1} [/ matemática], [matemática] c_ {1} [/ matemática], [matemática] b_ {2} [/ matemática], [matemática] c_ {2} \ in \ R [/ math], debe determinarse de modo que sea posible una coincidencia lo más precisa posible con (2). Expandiendo (3) y recolectando términos encontramos que

[matemáticas] \ begin {align *} I (m) & \ approx \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {3} + b_ {2} c_ {2} ^ {3} \ right) m ^ { 4} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {9} + b_ {2} c_ {2} ^ {9} \ right) \ dfrac {m ^ {10}} {3!} + \ Left (b_ {1} c_ {1} ^ {15} + b_ {2} c_ {2} ^ {15} \ right) \ dfrac {m ^ {16}} {5!} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {21} + b_ {2} c_ {2} ^ {21} \ right) \ dfrac {m ^ {22}} {7!} + \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {27} + b_ {2} c_ {2} ^ {27} \ right) \ dfrac {m ^ {28}} {9!} + \ Cdots \ tag {4} \ end {align *} [/ math]

Considere la idea de restar (3) de (2), para llegar a

[matemáticas] \ begin {align *} I (m) -m \ left (b_ {1} \ sin \ left (m c_ {1} \ right) ^ {3} + b_ {2} \ sin \ left (m c_ {2} \ right) ^ {3} \ right) & = \ left (\ dfrac {1} {4} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {3} + b_ {2} c_ { 2} ^ {3} \ right) \ right) m ^ {4} \\ & – \ dfrac {1} {3!} \ Left (\ dfrac {1} {10} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {9} + b_ {2} c_ {2} ^ {9} \ right) \ right) m ^ {10} \\ & + \ dfrac {1} {5!} \ Left (\ dfrac { 1} {16} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {15} + b_ {2} c_ {2} ^ {15} \ right) \ right) m ^ {16} \\ & – \ dfrac {1} {7!} \ left (\ dfrac {1} {22} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {21} + b_ {2} c_ {2} ^ {21} \ right ) \ right) m ^ {22} \\ & + \ dfrac {1} {9!} \ left (\ dfrac {1} {28} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {27} + b_ {2} c_ {2} ^ {27} \ right) \ right) m ^ {28} \\ & + \ cdots \ tag {5} \ end {align *} [/ math]

Ahora a partir de (5) vemos que podemos formar ecuaciones considerando los coeficientes de las potencias de m. Si ponemos a cero un coeficiente, entonces aumentamos la precisión de nuestra aproximación. Como tenemos cuatro parámetros, consideramos las cuatro ecuaciones

[matemáticas] \ begin {align *} b_ {1} c_ {1} ^ {3} + b_ {2} c_ {2} ^ {3} & = \ dfrac {1} {4} \\ b_ {1} c_ {1} ^ {9} + b_ {2} c_ {2} ^ {9} & = \ dfrac {1} {10} \\ b_ {1} c_ {1} ^ {15} + b_ {2} c_ {2} ^ {15} & = \ dfrac {1} {16} \\ b_ {1} c_ {1} ^ {21} + b_ {2} c_ {2} ^ {21} & = \ dfrac { 1} {22} \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

A primera vista, estas ecuaciones parecen ser bastante difíciles de resolver. Si tomamos

[matemáticas] d_ {1} = c_ {1} ^ {3} \ mbox {y} d_ {2} = c_ {2} ^ {3} \ tag {6} [/ matemáticas]

se convierten

[matemáticas] \ begin {align *} b_ {1} d_ {1} + b_ {2} d_ {2} & = \ dfrac {1} {4} \\ b_ {1} d_ {1} ^ {3} + b_ {2} d_ {3} ^ {3} & = \ dfrac {1} {10} \\ b_ {1} d_ {1} ^ {5} + b_ {2} d_ {2} ^ {5} & = \ dfrac {1} {16} \\ b_ {1} d_ {1} ^ {7} + b_ {2} d_ {2} ^ {7} & = \ dfrac {1} {22} \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

Esto reduce los poderes en gran medida, ahora si tomamos

[matemáticas] b_ {1} d_ {1} = e_ {1} \ mbox {y} b_ {2} d_ {2} = e_ {2} \ tag {7} [/ matemáticas]

entonces los poderes se reducen ligeramente

[matemáticas] \ begin {align *} e_ {1} + e_ {2} & = \ dfrac {1} {4} \\ e_ {1} d_ {1} ^ {2} + e_ {2} d_ {2 } ^ {2} & = \ dfrac {1} {10} \\ e_ {1} d_ {1} ^ {4} + e_ {2} d_ {2} ^ {4} & = \ dfrac {1} { 16} \\ e_ {1} d_ {1} ^ {6} + e_ {2} d_ {2} ^ {6} & = \ dfrac {1} {22} \ tag * {} \ end {align *} [/matemáticas]

Ahora si

[matemáticas] d_ {1} ^ {2} = q_ {1} \ mbox {y} d_ {2} ^ {2} = q_ {2} \ tag {8} [/ matemáticas]

entonces obtenemos el sistema de ecuaciones más refinado

[matemáticas] \ begin {align *} e_ {1} + e_ {2} & = \ dfrac {1} {4} \ tag {9} \\ e_ {1} q_ {1} + e_ {2} q_ { 2} & = \ dfrac {1} {10} \ tag {10} \\ e_ {1} q_ {1} ^ {2} + e_ {2} q_ {2} ^ {2} & = \ dfrac {1 } {16} \ tag {11} \\ e_ {1} q_ {1} ^ {3} + e_ {2} q_ {2} ^ {3} & = \ dfrac {1} {22} \ tag {12 } \ end {align *} [/ math]

Para resolver (9) a (12) definimos el polinomio [math] \ pi (q) [/ math] dado por

[matemáticas] \ begin {align *} \ pi (q) & = \ left (q-q_ {1} \ right) \ left (q-q_ {2} \ right) \\ & = q ^ {2} – Sq + P \ tag {13} \ end {align *} [/ math]

donde [matemática] S = q_ {1} + q_ {2} [/ matemática] y [matemática] P = q_ {1} q_ {2} [/ matemática]. Multiplicar (11) por 1, (10) por [matemática] -S [/ matemática] y (9) por [matemática] P [/ matemática] y sumar, esto produce la ecuación

[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {1} {16} – \ dfrac {1} {10} S + \ dfrac {1} {4} P & = 0 \ tag {14} \ end {align *} [/matemáticas]

Usando el mismo enfoque pero con (10), (11) y (12) obtenemos

[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {1} {22} – \ dfrac {1} {16} S + \ dfrac {1} {10} P & = 0 \ tag {15} \ end {align *} [/matemáticas]

Resolver (14) y (15) para [matemáticas] S [/ matemáticas] y [matemáticas] P [/ matemáticas] da

[matemáticas] \ begin {align *} S & = \ dfrac {10} {11} \\ P & = \ dfrac {5} {44} \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

Como estos son la suma y el producto de [matemáticas] q_ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] q_ {2} [/ matemáticas] nos damos cuenta de que la solución a la cuadrática

[matemáticas] \ begin {align *} q ^ {2} – \ dfrac {10} {11} q + \ dfrac {5} {44} & = 0 \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

proporciona [matemáticas] q_ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] q_ {2} [/ matemáticas], a saber

[matemáticas] \ begin {align *} q_ {1} & = \ dfrac {10-3 \ sqrt {5}} {22} \\ q_ {2} & = \ dfrac {10 + 3 \ sqrt {5}} {22} \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

Usando estos en (9) y (10) obtenemos [matemáticas] e_ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] e_ {2} [/ matemáticas], es decir

[matemáticas] \ begin {align *} e_ {1} & = \ dfrac {25 + 2 \ sqrt {5}} {200} \\ e_ {2} & = \ dfrac {25-2 \ sqrt {5}} {200} \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

La aproximación a [matemáticas] I (m) [/ matemáticas] viene dada por (3) y esto es en términos de [matemáticas] b_ {1} [/ matemáticas], [matemáticas] b_ {2} [/ matemáticas], [matemática] c_ {1} [/ matemática] y [matemática] c_ {2} [/ matemática], pero hemos encontrado [matemática] e_ {1} [/ matemática], [matemática] e_ {2} [/ matemática ], [matemática] q_ {1} [/ matemática] y [matemática] q_ {2} [/ matemática], entonces usando (6), (7) y (8) encontramos que

[matemáticas] q_ {1} = c_ {1} ^ {\ frac {1} {6}} \ mbox {y} q_ {2} = c_ {2} ^ {\ frac {1} {6}} \ tag *{}[/matemáticas]

además

[matemáticas] b_ {1} = \ dfrac {e_ {1}} {\ sqrt {q_ {1}}} \ mbox {y} b_ {2} = \ dfrac {e_ {2}} {\ sqrt {q_ { 2}}} \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces tenemos una aproximación para [math] I (m) [/ math] ya que todos los parámetros han sido resueltos. Por supuesto, nuestra próxima preocupación es descubrir qué tan buena es realmente esta aproximación. La respuesta a esto proviene de (5), que es básicamente de la forma

[matemáticas] \ mbox {True} – \ mbox {Aproximado} = \ mbox {Error} \ tag * {} [/ matemáticas]

A medida que se resuelve el sistema original, tenemos (mostrando solo el término dominante)

[matemáticas] \ begin {align *} \ int_ {0} ^ {m} \ sin \ left (x ^ {3} \ right) \ mbox {} dx-m \ left (b_ {1} \ sin \ left ( m c_ {1} \ right) ^ {3} + b_ {2} \ sin \ left (m c_ {2} \ right) ^ {3} \ right) & = \ left (\ dfrac {1} {28 \ multiplicado por 9!} – \ dfrac {1} {9!} \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {27} + b_ {2} c_ {2} ^ {27} \ right) \ right) m ^ {28} \\ & = \ dfrac {1} {9!} \ Left (\ dfrac {1} {28} – \ left (b_ {1} c_ {1} ^ {27} + b_ {2} c_ { 2} ^ {27} \ right) \ right) m ^ {28} \\ & = \ dfrac {1} {9!} \ Left (\ dfrac {1} {28} – \ left (e_ {1} q_ {1} ^ {4} + e_ {2} q_ {2} ^ {4} \ right) \ right) m ^ {28} \\ & = \ dfrac {1} {9!} \ Left (\ dfrac { 1} {28} – \ dfrac {265} {7744} \ right) m ^ {28} \\ & = \ dfrac {1} {242851840} m ^ {28} \ tag * {} \ end {align *} [/matemáticas]

Entonces, para recapitular la integral bajo consideración se puede aproximar por

[matemáticas] \ begin {align *} I (m) & = \ int_ {0} ^ {m} \ sin \ left (x ^ {3} \ right) \ mbox {} dx \\ & \ approx m \ left (b_ {1} \ sin \ left (c_ {1} m \ right) ^ {3} + b_ {2} \ sin \ left (c_ {2} m \ right) ^ {3} \ right) \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

dónde

[math] \ begin {align *} b_ {1} & = 0.38095747156292764799554450829955 \\ c_ {1} & = 0.72862103815269682900082838065076 \\ b_ {2} & = 0.11777692838744425504237002198512 \\ {7} }27_44227_727_27827_827_827_2_27_27_27_2_27_27_7_27_7_27_27_27_7_27_27_7_27_27_7_27_27_7_27_27_7_27_27_7_27_27_7_27_27_7_27_027_27_827_7_27_7_27_7_27_7_27_7_27_7_27_7_27_7_27_7_27_7_27_7_7_27_27_727_2_727_27_727_727_727_027_27 “. {alinear *} [/ matemáticas]

El error cometido al usar esta aproximación es

[matemáticas] \ begin {align *} \ mbox {Error} & \ approx \ dfrac {1} {242851840} m ^ {28} \\ & \ approx 4.1177 \ times 10 ^ {- 9} \ mbox {} m ^ {28} \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

Answer 2

La forma más simple de expresar esta integral es usar la función gamma incompleta, como se muestra en Integración (fórmula 01.06.21.0027)

Answer 3

La solución de esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Una forma es expresarlo usando una serie infinita (serie de Maclaurin).

Comience con la fórmula conocida para sinx y luego reemplace [matemática] x [/ matemática] por [matemática] x ^ 3 [/ matemática]

[matemáticas] sinx = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] sin (x ^ 3) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n (x ^ 3) ^ {2n + 1}} {(2n + 1)! }[/matemáticas]

La integral se convierte en [matemáticas] \ int \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {6n + 3}} {(2n + 1)!} Dx = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {6n + 4}} {(2n + 1)! \ veces (6n + 4)} + C [/ matemáticas]

Para valores pequeños de x, se pueden tomar los primeros términos para dar una precisión razonable en caso de que desee evaluar una integral definida. Cuantos más términos tome, más precisa será la respuesta.

[matemáticas] \ int sin (x ^ 3) dx \ aprox \ frac {x ^ 4} {4} – \ frac {x ^ {10}} {60} + \ frac {x ^ {14}} {1920} [/matemáticas]

Answer 4

Recuerde que [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] e ^ {ix ^ {3}} = \ cos (x ^ {3 }) + i \ sin (x ^ {3}) [/ math]. Ahora, tenemos que [math] Im (\ int f (x) dx) = \ int Im (f (x)) dx [/ math], como se puede mostrar fácilmente, de modo que [math] \ int sin (x ^ 3) dx = Im (\ int e ^ {ix ^ {3}} dx) [/ math]. Esto es integrable no elemental, aunque puede intentar simplificarlo a algo con lo que se sienta más cómodo.

Answer 5

Primero, no debe esperar una expresión simple para esto en términos de funciones elementales. En cambio, debe esperar una respuesta en términos de funciones especiales.

Cuando tiene funciones inusuales dentro de las funciones trascendentales, generalmente es bueno probar un método de sustitución para simplificar el argumento de la función trascendental. Segundo, siempre es bueno recordar las definiciones de senos y cosenos en términos de funciones exponenciales.

Recordar estos dos hechos básicos le permitirá evaluar esto con una de las funciones especiales estándar. Comenzar por refundir el seno como una función exponencial con un argumento imaginario da:

[matemáticas] \ int ^ {x ‘} dx \ sin (x ^ 3) = \ frac {1} {2i} \ int ^ {x’} dx e ^ {ix ^ 3} + \ text {cc} [/ matemáticas]

Ahora puede hacer la sustitución de [math] z = ix ^ 3 [/ math] para convertir esto en una integral de función gamma:

[matemáticas] \ int ^ {x ‘} dx e ^ {ix ^ 3} = \ frac {e ^ {\ frac {i \ pi} {6}}} {3} \ int ^ {z’} dz z ^ {-2/3} e ^ {- z} [/ math]

Recuerde que si [math] z ‘= \ infty [/ math], esta sería una función gamma

[matemáticas] \ int ^ \ infty_0 dz z ^ {- 2/3} e ^ {- z} = \ Gamma (1/3). [/ matemáticas]

Cuando cuando la integral termina en un punto finito, se convierte en una función gamma incompleta. Esta es una función gamma incompleta:

[matemáticas] \ int ^ {z ‘} dz z ^ {- 2/3} e ^ {- z} = \ gamma (\ frac {1} {3}, z’) [/ matemáticas]

Combinando todo (y si fui lo suficientemente cuidadoso con las i’s y -1’s) obtienes:

[matemáticas] \ int ^ {x ‘} dx \ sin (x ^ 3) = \ frac {e ^ {\ frac {-i \ pi} {3}}} {6} \ left (\ gamma (\ frac { 1} {3}, i x ‘{} ^ 3) – \ gamma (\ frac {1} {3}, -i x’ {} ^ 3) \ right) [/ math]

No conozco mis funciones especiales lo suficientemente bien, pero no creo que las funciones gamma incompletas de los argumentos imaginarios se simplifiquen fácilmente a otras funciones especiales.

Answer 6

s (1-c²) = s + (- s) c²

I = -cosx + cos³x / 3 + C

Answer 7

La expresión [math] \ sin (x ^ 3) [/ math] no tiene una antiderivada expresable en términos de funciones elementales.