¿Puede una ecuación ser matemáticamente verdadera pero dimensionalmente falsa?

Hay varios conceptos llamados “dimensión”. En matemáticas, las dimensiones suelen ser algo así como las tres dimensiones en el espacio. Sin embargo, en física, las dimensiones, como el tiempo o el espacio, tienen propiedades diferentes. Supongo que te refieres a lo último.

Las dimensiones en el sentido físico pueden sufrir multiplicación y división, pero no suma. Por ejemplo, 1 metro / segundo tiene sentido, pero 1 metro + 1 segundo no está definido (que no es lo mismo que falso).

La teoría matemática se describe en estos documentos.

Bunge M. (1971) Una teoría matemática de las dimensiones y unidades de cantidades físicas. En: Bunge M. (eds) Problemas en los fundamentos de la física. Estudios en Fundamentos, Metodología y Filosofía de la Ciencia, vol 4. Springer, Berlín, Heidelberg

Una teoría matemática de unidades físicas, dimensiones y medidas Carlson, DE Arch. Mech racional. Anal. (1979) 70: 289.

Estructura matemática de cantidades físicas Kock, A. Arch. Mech racional. Anal. (1989) 107: 99. Estructura matemática de cantidades físicas

Puede pensar en una cantidad con dimensiones (longitud, tiempo, masa, etc.) como una receta para producir un número real dada una elección específica de unidades (metro, segundo, gramo, etc.). Si tengo una longitud [matemática] L [/ matemática], por ejemplo, el hecho de que sea una longitud significa que puedo decir que es un cierto número de metros (con una parte fraccional) o un cierto número de centímetros, y así encendido, y para que sea una cantidad de “longitud”, los números que obtiene de esta manera tienen que corresponder (por ejemplo, el número de centímetros debe ser 100 veces el número de metros).

Cuando escribimos una ecuación con unidades, estamos en efecto indicando que este proceso da números iguales independientemente de la elección de la unidad. Puede tener una ecuación que se mantenga en un conjunto de unidades pero no en otra, lo cual es dimensionalmente incorrecto. Digamos que tomaste la fórmula de cómo un objeto estacionario que sueltas cae debido a la gravedad en un lugar determinado, si no hay resistencia del aire, [matemática] d = gt ^ 2/2 [/ matemática] pero reemplazada [matemática] g [/ math], la aceleración debida a la gravedad en ese lugar (aproximadamente [math] 9.8 [/ math]) simplemente con esa aceleración en un determinado sistema de unidades, sin unidades unidas: [math] d = 9.8t ^ 2 / 2 [/ matemáticas]. Entonces obtendría una fórmula que produce una declaración correcta (al menos aproximadamente) si está usando metros y segundos, pero no en general. Y la forma en que interpretamos tales ecuaciones lo hace incorrecto; Tiene que mantenerse en todas las unidades. Si una ecuación tiene dimensiones incorrectas, la forma en que los números se transforman a medida que cambia las unidades es diferente, por lo que en algunos otros conjuntos de unidades la ecuación ya no se mantendrá. Dado que la ecuación implícitamente significa “esto se cumple en todas las unidades”, es falso.

(Técnicamente debería tratar con la posibilidad de que una ecuación se mantenga en todas las unidades porque algunas de las cantidades que contiene son cero. Baste decir que prohibimos decir cosas como [matemáticas] L = m [/ matemáticas] cuando la longitud [matemáticas ] L [/ math] y la masa [math] m [/ math] son ​​ambos cero, incluso si fuera cierto en todas las unidades).

Si lo que querías decir es, “esta ecuación se cumple en este conjunto particular de unidades”, es fácil hacerlo reescribiendo la ecuación solo un poco. Por ejemplo, si quiero decir (por alguna razón) que la suma de la altura de un poste en metros y su peso en gramos es igual al tiempo que tardó en caerse en segundos, entonces sería [matemáticas] ( h / 1 m) + (m / 1 g) = (t / 1 s) [/ matemáticas]. Si esto fuera cierto, lo sería en todas las opciones de unidad, porque los cambios en la unidad se compensan dividiendo por un factor de conversión de unidad. Si [math] h [/ math] es tres metros, y evalué la ecuación en un sistema unitario que tiene el centímetro como la unidad de longitud, [math] h [/ math] se expresaría como un número mayor de centímetros, pero entonces dividiríamos entre [matemática] 100 [/ matemática] y obtendríamos el mismo valor para [matemática] (h / 1 m) [/ matemática] e igualmente para los otros dos términos.

La forma en que he presentado esto es, en cierto sentido, torpe, de la misma manera que una presentación basada en coordenadas de qué vectores son (en función de cómo se transforman cuando cambias las coordenadas). En cierto modo, si desea exponer los conceptos con cuidado, desea una descripción más inherente de los distintos tipos de “cantidades”. Pero ser capaz de expresarlos numéricamente es bastante fundamental, como es cómo se transforman bajo los cambios de unidad, por lo que este tipo de problema siempre está ahí también.

La forma en que las personas configuran las dimensiones es hasta cierto punto artificial. Las cosas que cuentan como dimensiones independientes para las cantidades pueden variar entre un campo y otro, por convención. Por ejemplo, en relatividad es común exigir que la unidad de longitud sea igual a la distancia que la luz viajaría en el vacío durante la unidad de tiempo. Entonces, mientras siguen esta convención, no tienen dimensiones separadas “longitud” y “tiempo”, sino solo una dimensión común de longitud / tiempo. Por otro lado, ha habido momentos en que las personas usaban unidades separadas para la distancia horizontal y vertical, y habría un factor de conversión entre ellas. Estos podrían manejarse como dimensiones separadas (aunque sin mucho beneficio). Estas son solo convenciones diferentes. Se espera que, bastante pronto, las unidades de energía y temperatura se conviertan en equivalentes por definición (el grado SI se define en términos de una cierta cantidad de energía). Son, físicamente, esencialmente lo mismo, pero para muchos propósitos es más fácil manejarlos por separado.

Si una ecuación no puede ser dimensionalmente incorrecta sino matemáticamente correcta. Como es una ecuación, significa que ambos lados del mismo signo tienen el mismo valor, por lo que ambos deben ser correctos.

Pero a veces, en una ecuación, algunos valores se sustituyen haciendo que parezca que no están equilibrados dimensionalmente, pero de hecho lo están. Las unidades en ambos lados permanecen iguales

Por ejemplo, el peso de un cuerpo ejerce una fuerza F = mg

Pero tomamos la aceleración gravitacional de la Tierra como 9.81m / s ^ 2, por lo que la ecuación puede escribirse como

F = 9.81 * m N

Ambas partes tienen dimensión de fuerza.