¿Cómo integro [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} \, \ mathrm {dx} [/ math]?

Answer 1

* A2A

Método 1:

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {x ^ 2} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} \ mathrm dx \\\ text {Look} & \ text {para sumar y restar un término que lo reducirá a fracciones más simples} \\\ text {Puede} & \ text {ayuda un poco si piensa en expandirse} (\ sin x + \ cos x) ^ 2 \\\ hline \\ & = \ int \ dfrac {x ^ 2 \ sin ^ 2x + x ^ 2 \ cos ^ 2 x + x \ sin x \ cos xx \ sin x \ cos x} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {x \ sin x (x \ sin x + \ cos x) -x \ cos x (\ sin xx \ cos x)} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2 } \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {x \ sin x} {x \ sin x + \ cos x} \ mathrm dx- \ int \ dfrac {x \ cos x (\ sin xx \ cos x)} { (x \ sin x + \ cos x) ^ 2} \ mathrm dx \\\ hline \\\ text {Focus} & \ text {en la segunda integral} \\ & \ text {Let} u = \ sin xx \ cos x \ implica \ mathrm du = (\ cos x- \ cos x + x \ sin x) \ mathrm dx = x \ sin x \ space \ mathrm dx \\ & \ text {And} \ mathrm dv = \ dfrac {x \ cos x} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} \ mathrm dx \\\ text {Let} & w = x \ sin x + \ cos x \ implica \ mathrm dw = (x \ cos x + \ sin x – \ sin x) \ mathrm dx = x \ cos x \ space \ mathrm dx \\ v & = \ int \ dfrac {\ mathrm dw} {w ^ 2} = – \ dfrac1w = – \ dfrac1 {x \ sin x + \ cos x} \\\ hline \\ & = \ int \ dfrac {x \ sin x} {x \ sin x + \ cos x} \ mathrm dx + \ dfrac {\ sin xx \ cos x} {x \ sin x + \ cos x} – \ int \ dfrac {x \ sin x} {x \ sin x + \ cos x} \ mathrm dx \\ & = \ dfrac {\ sin xx \ cos x} {x \ sin x + \ cos x} + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Método 2:

Usa el hecho de que

[matemáticas] \ begin {align} a \ cos x + b \ sin x & = R \ cos (x- \ alpha) \\\ text {where} R = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} & \ quad \ alpha = \ arctan \ left (\ dfrac ba \ right) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {x ^ 2} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {x ^ 2} {\ left \ {\ sqrt {1 + x ^ 2} \ cos (x- \ arctan x) \ right \} ^ 2} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {x ^ 2} {(1 + x ^ 2) \ cos ^ 2 (x- \ arctan x)} \ mathrm dx \\\ text {Let} & u = x- \ arctan x \ implica \ mathrm du = \ left (1- \ dfrac1 {1 + x ^ 2 } \ right) \ mathrm dx = \ dfrac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm du} {\ cos ^ 2 u} \\ & = \ int \ sec ^ 2u \ space \ mathrm du \\ & = \ tan u + C \\ & = \ tan (x- \ arctan x) + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Confirmación visual de la exactitud de ambas respuestas.

Answer 2

Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ frac {x ^ 2} {(xsinx + cosx) ^ 2} dx [/ math]

Multiplicando y dividiendo por [matemáticas] cosx [/ matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ int \ underbrace {(xsecx)} _ \ text {|} \ underbrace {\ frac {xcosx} {(xsinx + cosx) ^ 2}} _ \ text {||} dx [/matemáticas]

Usando la integración por partes,

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = xsecx \ dfrac {-1} {(xsinx + cosx)} – \ int (xsecxtanx + secx) \ dfrac {-1} {(xsinx + cosx)} dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ dfrac {-xsecx} {(xsinx + cosx)} + \ int \ dfrac {(xsinx + cosx)} {cos ^ 2x (xsinx + cosx)} dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ boxed {I = \ dfrac {-xsecx} {(xsinx + cosx)} + tanx + C} [/ math]

Answer 3

Aquí está el proceso de pensamiento que atravesé al encontrar la antiderivada.

Lo primero que debe intentar es simplificar la expresión tanto como podamos. Tenemos una [matemática] (x \ sin x + \ cos x) ^ 2 [/ matemática] en el denominador y eso se ve mal. Expandirlo no lo simplifica mucho. Entonces podríamos intentar sustituir el material interno. De hecho, establecer [matemáticas] t = x \ sin x + \ cos x [/ matemáticas] revela el hecho interesante de que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text dt} {\ text dx} = x \ cos x + \ sin x – \ sin x = x \ cos x \ tag * {} [/ matemáticas]

que es una expresión muy simple Solo si tuviéramos [math] x \ cos x [/ math] en el numerador, habríamos resuelto la integral de inmediato desde entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x \ cos x} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} ~ \ text dx = \ int \ frac {\ text dt} {t ^ 2} = – \ frac {1} {t} + \ mathcal C = \ frac {-1} {x \ sin x + \ cos x} + \ mathcal C. \ tag * {} [/ math]

Tiene sentido tratar de utilizar la simplicidad de esta integral. Podríamos reescribir nuestra integral como

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x} {\ cos x} \ cdot \ frac {x \ cos x} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} ~ \ text dx \ tag * {} [/matemáticas]

y dado que la parte correcta de la expresión es fácil de integrar, esto nos sugiere integrar por partes. De hecho, podemos sustituir

[matemáticas] \ displaystyle u = \ frac {x} {\ cos x}, ~~~ \ text dv = \ frac {x \ cos x} {(x \ sin x + \ cos x) ^ 2} ~ \ text dx \ tag * {} [/ math]

así que eso

[matemáticas] \ displaystyle \ text du = \ frac {x \ sin x + \ cos x} {\ cos ^ 2 x} ~ \ text dx, ~~~ v = \ frac {-1} {x \ sin x + \ cos x} \ tag * {} [/ math]

y esto parece prometedor, ya que tenemos expresiones similares en [math] \ text du [/ math] y [math] v [/ math]. Integrando por partes

[matemáticas] \ displaystyle \ int u ~ \ text dv = uv- \ int v ~ \ text du = \ frac {-x \ sec x} {x \ sin x + \ cos x} – \ int – \ sec ^ 2 x ~ \ text dx \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ sec ^ 2 x ~ \ text dx- \ frac {x \ sec x} {x \ sin x + \ cos x} = \ tan x- \ frac {x \ sec x} {x \ sen x + \ cos x} + \ mathcal C \ tag * {} [/ math]

donde hemos usado la conocida antiderivada de [math] \ sec ^ 2 x [/ math] que es [math] \ tan x + \ mathcal C [/ math]. La expresión anterior se puede simplificar aún más para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 2} {x \ sin x + \ cos x} ~ \ text dx = \ frac {\ sin x – x \ cos x} {\ cos x + x \ sin x} + \ mathcal C \ tag * {} [/ math]

Y hemos terminado. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]