Denotemos la integral de la función dada por el símbolo I.
Como el grado de x en el numerador es menor que el grado de x en el denominador, que es un polinomio de tercer grado en x, enseguida vamos y dividimos la función integrando en sus fracciones parciales y escribimos
x ^ 2 / (x + 1) (x-2) (x-3) = A / (x + 1) + B / (x-2) + C / (x-3)
= {A (x-2) (x-3) + B (x + 1) (x-3) + C (x + 1) (x-2)} / (x + 1) (x-2) ( x-3) (Tomando
LCM en el RHS)
Cancelando el denominador común en ambos lados, escribimos
x ^ 2 = A (x-2) (x-3) + B (x + 1) (x-3) + C (x + 1) (x-2) …………………………… ……………… (1)
Ahora ponga x = -2 en la ecuación (1) para obtener
4 = B (3) (- 1) que da
B = -4 / 3
De manera similar, al poner x = 3 y x = -1 en la ecuación (1) sucesivamente, obtenemos valores para
C = 9/4 y
A = 1/12
Sustituyendo estos valores de A, B, C
Integrando = (1/12) [1 / (x + 1)] – (4/3) [1 / (x-2)] + (9/4) [1 / (x-3)]
Por lo tanto,
I = Integral de (1/12) [1 / (x + 1)] – integral de (4/3) [1 / (x-2)] + integral de (9/4) [1 / (x-3 )]
= (1/12) log abs (x + 1) – (4/3) log abs (x-2) + (9/4) log abs (x-3) + C
Donde, C es una constante de integración. Tenemos que agregar esta constante porque la integral es indefinida.
Cómo integrar [math] \ displaystyle \ int {\ dfrac {x ^ 2} {(x + 1) (x-2) (x-3)} dx} [/ math]
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Cómo resolver un derivado sin solución conocida (0 quizás)
Deje que [matemáticas] f (x) = \ dfrac {x ^ 2} {(x + 1) (x-2) (x-3)} [/ matemáticas]
Para resolver el problema dado se puede poner en forma …
[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {(x + 1) (x-2) (x-3)} = \ dfrac {A} {x + 1} + \ dfrac {B} {x-2} + \ dfrac {C} {x-3} [/ math]
[matemática] \ Rightarrow x ^ 2 = A (x-2) (x-3) + B (x + 1) (x-3) + C (x + 1) (x-2) [/ math]
Ahora, para encontrar [matemáticas] A, B, C [/ matemáticas] ponemos
[matemáticas] x = -1,2,3 [/ matemáticas] respectivamente.
Entonces tenemos …
Para [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 = (- 1-2) (- 1-3) A + 0 + 0 [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow A = \ dfrac {1} {12} [/ math]
Para [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 = 0 + (2 + 1) (2-3) B + 0 [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow B = – \ dfrac {4} {3} [/ math]
Para [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9 = 0 + 0 + (3 + 1) (3-2) C [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow C = \ dfrac {9} {4} [/ matemática]
Entonces [matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {(x + 1) (x-2) (x-3)} = \ dfrac {1} {12 (x + 1)} – \ dfrac {4} {3 (x-2)} + \ dfrac {9} {4 (x-3)} [/ math]
Ahora, [matemáticas] I = \ int \ dfrac {x ^ 2} {(x + 1) (x-2) (x-3)} dx [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int [\ dfrac {1} {12 (x + 1)} – \ dfrac {4} {3 (x-2)} + \ dfrac {9} {4 (x-3)}] dx [/matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {12} \ ln (x + 1) – \ dfrac {4} {3} \ ln (x-2) + \ dfrac {9} {4} \ ln (x-3 ) + C [/ matemáticas]
Donde ‘C’ son constantes arbitrarias.
* Gracias por A2A.
[matemáticas] \ int \ dfrac {x ^ {2}} {(x + 1) (x-2) (x-3)} \ dx = \ int \ dfrac {(x ^ 2-9) +9} { (x + 1) (x-2) (x-3)} \ dx [/ math]
[matemáticas] = \ int \ dfrac {(x ^ 2-9)} {(x + 1) (x-2) (x-3)} \ dx + 9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1 ) (x-2) (x-3)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int \ dfrac {(x + 3)} {(x + 1) (x-2)} \ dx + 9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1) (x-2) ( x-3)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int \ dfrac {(x + 1) +2} {(x + 1) (x-2)} + 9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1) (x-2) ( x-3)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int \ dfrac {dx} {(x-2)} + 2 \ cdot \ int \ dfrac {dx} {(x + 1) (x-2)} + 9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1) (x-2) (x-3)} [/ math]
[matemáticas] = \ ln | x-2 | +2 \ int \ dfrac {dx} {x ^ 2-x-2} +9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1) (x-2) ( x-3)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ ln | x-2 | +2 \ int \ dfrac {dx} {(x- \ frac {1} {2}) ^ {2} – (\ frac {3} {2}) ^ { 2}} + 9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1) (x-2) (x-3)} [/ math]
[matemáticas] = \ ln | x-2 | + \ dfrac {2} {3} \ ln | \ dfrac {x-2} {x + 1} | +9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1 ) (x-2) (x-3)}. [/ math]
Al resolver la parte [math] 9 \ int \ dfrac {dx} {(x + 1) (x-2) (x-3)} [/ math] usando el método de fracción parcial para resolver integrales, obtenemos,
[matemáticas] 9 [12 \ ln | x + 1 | -3 \ ln | x-2 | +4 \ ln [/ matemáticas] [matemáticas] | x-3 |] + \ text {constante c}. [/ matemáticas ]
[matemáticas] \ por lo tanto \ int \ dfrac {x ^ {2}} {(x + 1) (x-2) (x-3)} \ dx = \ ln | x-2 | + \ dfrac {2} { 3} \ ln | \ dfrac {x-2} {x + 1} | +9 [12 \ ln | x + 1 | -3 \ ln | x-2 | +4 \ ln | x-3 |] + \ texto {constante c}. [/ math]
La respuesta final necesita un poco de simplificación. Creo que todos podemos hacer esto.
I = integ. De x ^ 2 .dx / (x + 1) (x-2) (x-3)]
x ^ 2 / [(x + 1) (x-2) (x-3) = A / (x + 1) + B / (x-2) + C / (x-3) ď
Después de resolver lo anterior, A = 1/12, B = -4/3, C = 9/4.
I = integ. De (1/12) / (x + 1) – (4/3) / (x-2) + (9/4) / (x-3)
I = 1/12 log | x + 1 | – 4/3 log | x-2 | + 9/4 log | x -3 | + C respuesta.