Resolvemos las dos recurrencias [matemáticas] A_n = 2A_ {n-1} + C [/ matemáticas], con [matemáticas] (i) [/ matemáticas] [matemáticas] A_1 = -C [/ matemáticas], [matemáticas] ( ii) [/ matemáticas] [matemáticas] A_1 = C [/ matemáticas]. El primero de ellos es el publicado, el segundo destinado según los comentarios publicados por Mridul Gupta.
[matemáticas] (i) [/ matemáticas] Observe que [matemáticas] A_2 = 2A_1 + C = -C = A_1 [/ matemáticas]. Suponiendo que [matemática] A_ {n-1} = – C [/ matemática] para algunos [matemática] n \ ge 3 [/ matemática], [matemática] A_n = 2A_ {n-1} + C = -C [/ matemática ]
Por lo tanto, [matemática] A_n = -C [/ matemática] por inducción matemática . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
[matemáticas] (ii) [/ matemáticas] Observe que [matemáticas] A_2 = 2A_1 + C = 3C [/ matemáticas] y [matemáticas] A_3 = 2A_2 + C = 7C [/ matemáticas]. Suponiendo que [matemáticas] A_ {n-1} = (2 ^ {n-1} -1) C, A_n = 2A_ {n-1} + C = (2 ^ n-1) C [/ matemáticas].
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- Cómo integrar [math] \ displaystyle \ int {\ dfrac {x ^ 2} {(x + 1) (x-2) (x-3)} dx} [/ math]
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Por lo tanto, [matemática] A_n = (2 ^ n-1) C [/ matemática] por inducción matemática . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]