Dado [math] v \ in \ mathbb {R} ^ + [/ math] [math], F [/ math] [math]: \ mathbb {R} ^ + \ to \ mathbb {R} ^ + [/ math ] (estrictamente positivo) continuo y decreciente monotónicamente, ¿podemos estar seguros de que [math] \ infty> | \ int_ {0} ^ {\ infty} F (x) \ cos {(vx)} dx | \ implica \ int_ { 0} ^ {\ infty} F (x) \ cos {(vx)} dx> 0 [/ math] dado que [math] \ int_ {0} ^ {\ frac {1} {v} (\ frac {3 \ pi} {2} + 2n \ pi)} F (x) \ cos {(vx)} dx> 0 [/ math] para algún entero no negativo [math] n [/ math]?

Answer 1

Las condiciones previas de continuidad y rigor de la monotonicidad no son necesarias. La afirmación de la pregunta es cierta incluso para algunas funciones de paso no continuas y solo monotónicamente decrecientes por parte del dominio [matemáticas] x \ ge \ frac 1 v \ left (\ frac 3 2 \ pi + 2n \ pi \ right )[/matemáticas]. Se puede demostrar que la siguiente desigualdad es válida

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ frac 1 v \ left (\ frac 3 2 \ pi + 2n \ pi \ right)} ^ {\ infty} F (x) \ cos (vx) \, \ mathrm dx \ ge 0 [/ matemáticas]

para cualquier función (estrictamente) monotónicamente decreciente [matemática] F (x) [/ matemática]. Si la función es estrictamente monotónica, [math] \ ge [/ math] cambia a [math]> [/ math].

Se puede usar una variable transformada [matemáticas] s = vx, ds = v \, dx, x = \ frac {1} {v} \ left (\ frac {3 \ pi} {2} + 2n \ pi \ right) \ mapsto s = \ frac {3 \ pi} {2} + 2n \ pi [/ math]

Esto lleva a la integral transformada

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {1} {v} \ left (\ frac {3 \ pi} {2} + 2n \ pi \ right)} F (x) \ cos (vx) \ mathrm dx = \ int_0 ^ {\ frac {3 \ pi} {2} + 2n \ pi} G (s) \ cos (s) \ mathrm ds [/ math]

con [matemática] G (s): = \ frac 1 v F (s / v) [/ matemática].

Ahora calculemos

[matemática] \ displaystyle \ int _ {\ frac {3 \ pi} {2} + 2n \ pi} ^ \ infty G (s) \ cos (s) \ mathrm ds = \ sum \ limits_ {m = n} ^ \ infty \ int _ {\ frac {3 \ pi} {2} + 2m \ pi} ^ {\ frac {3 \ pi} {2} +2 (m + 1) \ pi} G (s) \ cos (s) \ mathrm ds [/ math]

Una transformación variable adicional

[matemáticas] r = s- \ frac 3 2 \ pi-2m \ pi, dr = ds, s = \ frac 3 2 \ pi + 2m \ pi \ mapsto r = 0, s = \ frac 3 2 \ pi + 2 (m + 1) \ pi \ mapsto r = 2 \ pi, \ cos (s) = \ sin (r), G (s) = G (r + \ frac 3 2 \ pi + 2m \ pi) =: H_m ( r) [/ matemáticas]

con [math] n \ le m \ in \ mathbb N [/ math]. Entonces uno obtiene la transformación integral

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ frac {3 \ pi} {2} + 2m \ pi} ^ {\ frac {3 \ pi} {2} +2 (m + 1) \ pi} G (s) \ cos (s) \ mathrm ds = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} H_m (r) \ sin (r) \, \ mathrm dr [/ math]

La función [matemáticas] H_m (r) [/ matemáticas], por supuesto, también está disminuyendo monotónicamente. Se puede escribir

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ displaystyle \ int _ {\ frac 3 2 \ pi + 2n \ pi} ^ {\ infty} G (s) \ cos (s) \, \ mathrm ds & = & \ sum \ limits_ {m = n} ^ {\ infty} \ int _ {\ frac {3 \ pi} {2} + 2m \ pi} ^ {\ frac {3 \ pi} {2} +2 (m + 1) \ pi} G (s) \ cos (s) \ mathrm ds \\ & = & \ sum \ limits_ {m = n} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} H_m (r) \ sin (r ) \, \ mathrm dr \ end {eqnarray *} [/ math]

Entonces esto se reduce a una prueba de

[matemáticas] \ displaystyle I_m: = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} H_m (r) \ sin (r) \, \ mathrm dr \ ge 0 [/ math]

para todos [math] m \ ge n [/ math]. Como [matemáticas] H_m (r) \ ge H_m (r + \ pi) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ forall 0 \ le r \ le \ pi: \ sin (r + \ pi) = – \ sin (r) [ / math] se obtiene

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {2 \ pi} H_m (r) \ sin (r) \, \ mathrm dr & = & \ int_ {0} ^ {\ pi} H_m (r) \ sin (r) \, \ mathrm dr + \ int _ {\ pi} ^ {2 \ pi} H_m (r) \ sin (r) \, \ mathrm dr \\ & = & \ int_ {0} ^ {\ pi} (H_m (r) -H_m (r + \ pi)) \ sin (r) \, \ mathrm dr \ ge 0 \ end {eqnarray *} [/ math]

Si [math] H (r) [/ math] es estrictamente monotónicamente decreciente, [math] H_m (r)> H_m (r + \ pi) [/ math] se mantiene y la integral [math] I_m [/ math] es mayor cero.

Por lo tanto

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ displaystyle \ int _ {\ frac 1 v \ left (\ frac 3 2 \ pi + 2n \ pi \ right)} ^ {\ infty} F (x) \ cos (vx) \ , \ mathrm dx & = & \ int _ {\ frac 3 2 \ pi + 2n \ pi} ^ {\ infty} G (s) \ cos (s) \, \ mathrm ds \ ge 0 \ Rightarrow \\ \ int_ {0 } ^ {\ infty} F (x) \ cos (vx) \, \ mathrm dx & = & \ int_ {0} ^ {\ infty} G (s) \ cos (s) \, \ mathrm ds> 0 \ end {eqnarray *} [/ math]