¿Cómo encuentro [math] \ int \ frac {dx} {1 + x ^ 3} [/ math]?

Answer 1

3 requisitos previos;

Descomposición fraccional parcial

Integración por sustitución

Derivada del arco tangente x

Simplemente puede ver la respuesta en WolframAlpha.

Daré una breve explicación.

[matemáticas] 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2 – x + 1) [/ matemáticas]

Esto tiene que ser descompuesto. ¿Pero cómo?

Multiplica x en el numerador y el denominador. Entonces el denominador se convierte

[matemáticas] (x ^ 2 – x + 1) (x ^ 2 + x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {(x ^ 2 – x + 1) (x ^ 2 + x)} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {2x – 1} (\ frac {1} {x ^ 2 – x + 1} – \ frac {1} {x ^ 2 + x}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {-2} {(2x – 1) (2x + 2)} + (\ frac {x} {2x-1} \ frac {4} {(2x-1) ^ 2 + 3 }) = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {3} (\ frac {1} {2x + 2} – \ frac {1} {2x-1}) + 4x (2x-1) (\ frac {1} { (2x-1) ^ 2} \ frac {1} {(2x-1) ^ 2 + 3}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3 (x + 1)} – \ frac {2} {3 (2x-1)} + \ frac {2} {3} (\ frac {1} {2x- 1} – \ frac {2x-4} {(2x-1) ^ 2 + 3}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3 (x + 1)} – \ frac {4} {3} \ frac {x-2} {(2x-1) ^ 2 + 3} [/ matemáticas]

Comprueba mi cálculo; La forma alternativa de WolframAlpha. Entonces la forma anterior es idéntica a la fracción original.

Después de descomponer el denominador, el resto es integración por sustitución y te dejaré esta parte. 🙂

Consejo) Integre 1 / x y divida el resultado anterior para integrar

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3 (x + 1)} – \ frac {4} {3} \ frac {x-2} {(2x-1) ^ 2 + 3} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3 (x + 1)} – \ frac {1} {6} \ frac {8x-16} {(2x-1) ^ 2 + 3} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3 (x + 1)} – \ frac {1} {6} (\ frac {8x-4} {(2x-1) ^ 2 + 3} – \ frac { 12} {(2x-1) ^ 2 + 3}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3 (x + 1)} + \ frac {2} {(2x-1) ^ 2 + 3} – \ frac {1} {3} \ frac {4x-2 } {(2x-1) ^ 2 + 3} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3 (x + 1)} + \ frac {2/3} {(\ frac {2x-1} {\ sqrt {3}}) ^ 2 + 1} – \ frac {1} {3} \ frac {4x-2} {(2x-1) ^ 2 + 3} [/ math]

-Atentamente

Answer 2

divide y conquistaras,

let [math] \ frac {1} {1 + x ^ 3} = \ frac {A} {x + 1} + \ frac {Bx + C} {x ^ 2-x + 1} [/ math], por comparando coeficientes, podemos encontrar el valor de A, B, C; mi resultado es [matemáticas] A = 1/3, B = -1 / 2, C = 2/3 [/ matemáticas]

es simple obtener [math] \ int \ frac {dx} {x + 1} [/ math] y [math] \ int \ frac {x-1/2} {x ^ 2-x + 1} dx [/ math], entonces, necesitamos dividir [math] Bx + C = B (x- \ frac {1} {2}) + (C + B / 2) [/ math], y resolver [math] \ int \ frac {dx} {x ^ 2-x + 1} = \ int \ frac {dx} {(x-1/2) ^ 2 + 3/4} [/ math]

el resto es simple y no escribiré.

Answer 3

Factoriza el denominador, usa fracciones parciales, integra término por término.