¿Cómo evalúo [math] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {1} {1 + x ^ 4} dx [/ math]?

Answer 1

Deje [math] {\ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x ^ 4 + 1} \, dx} [/ math]

Descomponiendo la integral usando fracciones parciales:

[matemáticas] {\ displaystyle I = \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 1 \ frac {\ sqrt {2} x-2} {- x ^ 2 + \ sqrt {2} x-1} \, dx + \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 1 \ frac {\ sqrt {2} x + 2} {x ^ 2 + \ sqrt {2} x + 1} \, dx \\ \ quad = \ left (\ frac {1} {4 \ sqrt {2}} \ right) \ int_0 ^ 1 \ frac {2 x + \ sqrt {2}} {x ^ 2 + \ sqrt {2} x + 1} \, dx + \ frac { 1} {4} \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x ^ 2 + \ sqrt {2} x + 1} \, dx + \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 1 \ frac {\ sqrt {2 } x-2} {- x ^ 2 + \ sqrt {2} x-1} \, dx \\ \ quad = I_1 + I_2 + I_3} [/ math]

Sustituyendo en la primera integral [matemáticas] I_1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] u = x ^ 2 + \ sqrt {2} x + 1, du = 2 x + \ sqrt {2} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle I_1 = \ frac {\ int_1 ^ {\ sqrt {2} +2} \ frac {1} {u} \, du} {4 \ sqrt {2}} = \ frac {\ ln ( u)} {4 \ sqrt {2}} \ Bigr | _1 ^ {\ sqrt {2} +2} = \ frac {\ ln \ left (\ sqrt {2} +2 \ right)} {4 \ sqrt { 2}}} [/ matemáticas]

Completando el cuadrado en la segunda integral [matemáticas] I_2: [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle I_2 = \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {\ left (x + \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 + \ frac {1} {2}} \, dx} [/ math]

Luego haciendo la sustitución:

[matemáticas] s = x + \ frac {1} {\ sqrt {2}}, ds = dx [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle I_2 = \ frac {1} {4} \ int _ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} ^ {1+ \ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ frac {1} {s ^ 2 + \ frac {1} {2}} \, ds = \ frac {1} {2} \ int _ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} ^ {1+ \ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ frac {1} {2 s ^ 2 + 1} \, ds} [/ math]

Haciendo otra sustitución y calculando:

[matemáticas] p = \ sqrt {2} s [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle I_2 = \ frac {\ int_1 ^ {\ sqrt {2} \ left (1+ \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right)} \ frac {1} {p ^ 2 +1} \, dp} {2 \ sqrt {2}} = \ frac {\ tan ^ {- 1} (p)} {2 \ sqrt {2}} \ Bigr | _1 ^ {\ sqrt {2} \ left (1+ \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right)}} [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle I_2 = \ frac {\ pi -4 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} +1 \ right)} {8 \ sqrt {2}}} [/ math]

Reescribiendo la tercera integral [matemáticas] I_3 [/ matemáticas] y haciendo dos sustituciones más:

[matemáticas] {\ displaystyle I_3 = \ frac {\ int_0 ^ 1 \ frac {\ sqrt {2} -2 x} {- x ^ 2 + \ sqrt {2} x-1} \, dx} {4 \ sqrt {2}} – \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {- x ^ 2 + \ sqrt {2} x-1} \, dx \\ \ quad = {\ displaystyle – \ frac {\ ln \ left (2- \ sqrt {2} \ right)} {4 \ sqrt {2}} + \ frac {\ pi -4 \ tan ^ {- 1} \ left (1- \ sqrt {2 } \ right)} {8 \ sqrt {2}}}} [/ math]

La integral completa se puede expresar como:

[matemáticas] {\ displaystyle I = I_1 + I_2 + I_3 \\ = {\ displaystyle – \ frac {\ ln \ left (2- \ sqrt {2} \ right)} {4 \ sqrt {2}} + \ frac {\ ln \ left (\ sqrt {2} +2 \ right)} {4 \ sqrt {2}} + \ frac {\ pi -4 \ tan ^ {- 1} \ left (1- \ sqrt {2} \ right)} {8 \ sqrt {2}} – \ frac {\ pi -4 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} +1 \ right)} {8 \ sqrt {2}}} \\ = {\ displaystyle – \ frac {\ ln \ left (2- \ sqrt {2} \ right) – \ ln \ left (\ sqrt {2} +2 \ right) +2 \ tan ^ {- 1} \ left (1- \ sqrt {2} \ right) -2 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} +1 \ right)} {4 \ sqrt {2}}}} [/ math]

Usando las relaciones entre funciones trigonométricas inversas, logaritmos y funciones hiperbólicas inversas, la solución obtenida es:

[matemáticas] \ boxed {{\ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x ^ 4 + 1} \, dx \\ \ quad = \ frac {\ pi – \ ln \ left (2- \ sqrt {2} \ right) + \ ln \ left (\ sqrt {2} +2 \ right)} {2 ^ {5/2}} \\ \ quad = {\ displaystyle \ frac {\ pi +2 \ ln \ left (\ cot \ left (\ frac {\ pi} {8} \ right) \ right)} {4 \ sqrt {2}}} \\ \ quad = \ frac {\ pi +2 \ coth ^ {- 1 } \ left (\ sqrt {2} \ right)} {4 \ sqrt {2}}}} [/ math]

O numéricamente:

[matemáticas] I \ aproximadamente 0.86697298733991103757399516388287071 [/ matemáticas]

Como resultado general relacionado, para constantes arbitrarias y límites arbitrarios de integración, la solución general a la integral definida se expresa como (verificado con Mathematica):

[matemáticas] {\ displaystyle \ int_a ^ b \ frac {1} {c + x ^ n} \, dx = \ frac {b * \, _2F_1 \ left (1, \ frac {1} {n}; 1+ \ frac {1} {n}; – \ frac {b ^ n} {c} \ right) -a * \, _2F_1 \ left (1, \ frac {1} {n}; 1+ \ frac {1} {n}; – \ frac {a ^ n} {c} \ right)} {c}} [/ math]

La función [matemáticas] {\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)} [/ matemáticas] es la función hipergeométrica ordinaria. La solución anterior viene con una serie de declaraciones condicionales.

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int_0 ^ 1 \ dfrac1 {1 + x ^ 4} \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {(x ^ 2 + 1) – (x ^ 2-1)} {x ^ 4 + 1} \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {x ^ 2 + 1} {x ^ 4 + 1} \ mathrm dx- \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {x ^ 2-1} {x ^ 4 + 1} \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1+ \ dfrac1 {x ^ 2}} {x ^ 2 + \ dfrac1 {x ^ 2}} \ mathrm dx- \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1- \ dfrac1 {x ^ 2}} {x ^ 2 + \ dfrac1 {x ^ 2}} \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ mathrm d \ left (x- \ dfrac1x \ right)} {\ underbrace {\ left (x- \ dfrac1x \ right) ^ 2} _u + (\ sqrt 2) ^ 2} \ mathrm dx- \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ mathrm d \ left (x + \ dfrac1x \ right)} {\ underbrace {\ left (x + \ dfrac1x \ right) ^ 2} _v-2} \\ & = \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ mathrm du} {u ^ 2 + 2} – \ dfrac12 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ mathrm dv} {v ^ 2-2} \ qquad \ begin {cases} \ text {Nota { : No estoy cambiando los límites} \\\ text {ya que planeo usar los límites más adelante} \ end {cases} \\ & = \ Bigg [\ dfrac1 {2 \ sqrt2} \ arctan \ left (\ dfrac u {\ sqrt2} \ right) – \ dfrac1 {4 \ sqrt2} \ ln \ left | \ dfrac {v- \ sqrt2} {v + \ sqrt2} \ right | \ Bigg] _ {x = 0} ^ {x = 1 } \ qquad \ left [\ porque \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {x ^ 2-a ^ 2} = \ dfrac1 {2a} \ ln \ left | \ dfrac {xa} {x + a} \ right | + C \ right] \\ & = \ Bigg [\ dfrac1 {2 \ sqrt2} \ arctan \ left (\ dfrac {x- \ dfrac1x} {\ sqrt2} \ right) – \ dfrac1 {4 \ sqrt2} \ ln \ left | \ dfrac {x + \ dfrac1x- \ sqrt2} {x + \ dfrac1x + \ sqrt2} \ right | \ Bigg] _ {x = 0} ^ {x = 1} \\ & = \ Bigg [\ dfrac { \ sqrt2} 4 \ arctan \ left (\ dfrac {x ^ 2-1} {\ sqrt2x} \ right) – \ dfrac {\ sqrt2} 8 \ ln \ left | \ dfrac {x ^ 2- \ sqrt2x + 1} {x ^ 2 + \ sqrt2x + 1} \ right | \ Bigg] _ {x = 0} ^ {x = 1} \\ & = 0- \ dfrac {\ sqrt2} 4 \ arctan (- \ infty) – \ dfrac {\ sqrt2} {8} \ ln \ left (\ dfrac {2- \ sqrt2} {2+ \ sqrt2} \ right) + \ dfrac {\ sqrt2} 8 \ ln 1 \\ & = \ dfrac {\ sqrt2 \ pi} 8- \ dfrac {\ sqrt2} 8 \ ln \ left (\ dfrac {2- \ sqrt2} {2+ \ sqrt2} \ right) \\ & = \ dfrac {\ sqrt2} 8 \ left [\ pi + \ ln \ left (\ dfrac {\ sqrt2 + 1} {\ sqrt2-1} \ right) \ right] \\ & = \ dfrac {\ sqrt2} 8 \ bigg [\ pi + \ ln (3 + 2 \ sqrt2) \ bigg] \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Intenta enchufar la respuesta final en la calculadora, coincidirá con WolframAlpha 🙂

Answer 3

Sustituir [matemáticas] tanθ = x ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, [math] {sec ^ 2} θ = 2xdx [/ math]

o, [matemáticas] {sec ^ 2} θdθ / 2√tanθ = dx [/ matemáticas]

Ahora la función anterior se convierte en:

[matemáticas] {1 / {seg ^ 2} θ}. {{seg ^ 2} θdθ} / 2√tanθ [/ matemáticas]

→ [matemáticas] dθ / 2√tanθ [/ matemáticas]

→ [matemáticas] (√ {cotθ} dθ) / 2 [/ matemáticas]

Ahora considere esto:

[matemáticas] cot√cotβdβ
= ½∫ [(√cotβ + √tanβ) + (√cotβ − √tanβ)] dβ
= ½∫ [(cosβ + sinβ) / √ (cosβ.sinβ)] dβ
+ ½∫ [(cosβ −sinβ) / √ (cosβ sinβ)] dβ
= (1 / √2) ∫ [(cosβ + sinβ) / √sin 2β] dβ
+ (1 / √2) ∫ [(cosβ – sinβ) / √sin 2β] dβ
→ cosβ.sin β = sin2β [/ matemática]

Ahora sustituya [math] sin2β = t ^ 2 [/ math]

Y resuelva (el resto depende de usted, ya que es demasiado largo para escribir en un teléfono)