[matemáticas] -20618771250 [/ matemáticas] .
En pocas palabras, la respuesta será la suma de todos los productos de números del 1 al 100 tomados 3 a la vez, con un signo negativo.
Esto se puede ver por las fórmulas de Vieta [1]. O puede usar el argumento combinatorio simple de que [math] x ^ {97} [/ math] puede formarse eligiendo [math] x [/ math] de unos 97 corchetes y eligiendo el término constante de los 3 corchetes restantes. Por lo tanto, obtendrá [math] -abc × x ^ {97} [/ math]. Agregando todos estos términos, obtendrá el coeficiente como se indicó anteriormente.
Ahora, calcular esta suma es la parte difícil.
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Necesitamos encontrar esta suma, llamémosla [matemáticas] A [/ matemáticas]
[matemáticas] A = \ sum_ {1 \ leq i <j <k \ leq100} ijk [/ math]
Sabemos:
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ 3 = (\ frac {n (n + 1)} {2}) ^ 2 [/ matemáticas]
¿Cómo encontramos el valor de [math] A [/ math] con la ayuda de estas expresiones?
Consideramos la siguiente expresión:
[matemáticas] B = (\ sum_ {k = 1} ^ {100} k) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (\ frac {100 (101)} {2}) ^ 3 = 128787625000 [/ matemáticas]
Ahora encontremos el valor de [math] B [/ math] con la ayuda de [math] A [/ math].
[matemáticas] B = \ sum_ {k = 1} ^ {100} k ^ 3 + 3 (1 ^ 2 (2 + 3 + \ cdots + 100) + 2 ^ 2 (1 + 3 + \ cdots + 100) + \ cdots + 100 ^ 2 (1 + 2 + \ cdots + 99)) + 6 \ cdot A [/ math]
¿Cómo obtuvimos esta expresión? Considere [math] B [/ math] como el producto de tres corchetes. Podemos elegir el mismo término de cada uno de los tres corchetes, dando [math] \ sum_ {k = 1} ^ {100} k ^ 3 [/ math]. O puede elegir el mismo término entre dos paréntesis y un término diferente de otro paréntesis, dando [matemáticas] 3 (1 ^ 2 (2 + 3 + \ cdots + 100) + 2 ^ 2 (1 + 3 + \ cdots + 100) + \ cdots + 100 ^ 2 (1 + 2 + \ cdots + 99)) [/ math]. O puede elegir diferentes términos de todos los corchetes, dando [matemáticas] 6 \ cdot A [/ matemáticas].
Ahora, suma y resta [matemáticas] 2 (\ sum_ {k = 1} ^ {100} k ^ 3) [/ matemáticas] de esta expresión, dando
[matemáticas] B = 6 \ cdot A + 3 (\ sum_ {k = 1} ^ {100} k) (\ sum_ {k = 1} ^ {100} k ^ 2) – 2 (\ sum_ {k = 1 } ^ {100} k ^ 3) [/ matemáticas]
Finalmente, poner valores de [matemática] B [/ matemática], [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ {100} k, [/ matemática] [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ {100} k ^ 2 [/ math] y [math] \ sum_ {k = 1} ^ {100} k ^ 3 [/ math], tenemos:
[matemáticas] 128787625000 = 6 \ cdot A + 5126002500 – 51005000 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] A = 20618771250 [/ matemáticas]
Escribí un programa en C ++ para verificar esto:
#include
int main ()
{
largo largo int coeff = 0;
para (int i = 1; i <= 98; i ++)
{
para (int j = i + 1; j <= 99; j ++)
{
para (int k = j + 1; k <= 100; k ++)
{
int producto = i * j * k;
coeff – = producto;
}
}
}
std :: cout << coeff;
}
Aquí está la salida:
-20618771250
Entonces, sí, el coeficiente de [matemáticas] x ^ {97} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (x-1) (x-2) (x-3) \ cdots (x-100) [/ matemáticas] es [matemáticas] -20618771250 [/ matemáticas]
Notas al pie
[1] Fórmulas de Vieta – Wikipedia