¿Son los logaritmos cálculo o álgebra? Además, ¿por qué existe?

Answer 1

Napier inventó los logaritmos sin usar cálculo. La idea básica equivale a un esfuerzo por las buenas o por las malas para llegar a números que representen el tamaño multiplicativo de 2, 3, 4, etc. y en el medio. Ahora esto se puede hacer con nada más que aritmética. Digamos que [math] \ log 2 = 1 [/ math]. Entonces [matemáticas] \ log 4 = 2, \ log 8 = 3, \ log 16 = 4 [/ matemáticas], etc. Pero, ¿qué pasa con 3? Bueno, [math] 2 \ log 3 = \ log 9> \ log 8 = 3 [/ math], entonces [math] \ log 3> 3/2 [/ math]. Y hackeas y te abres camino a valores bastante buenos para varios registros y haces una tabla, y ahí lo tienes.

Entonces, álgebra y aritmética.

Pero hay formas mucho mejores, con menos aritmética requerida pero con mayor precisión, además de una explicación coherente de todo, si utiliza el cálculo.

Digamos que queremos log 3 base 2. Eso sería [math] \ ln (3) / \ ln (2) [/ math]. Hay una expansión de la serie de potencia para [math] \ ln (1 + x) [/ math], mejor cuando x está cerca de 0. Ahora [math] 2 = (6/5) * (5/4) * (4 / 3) [/ matemáticas]. Ahora para obtener [math] \ ln (4/3) [/ math] usa la serie con x [math] = 1/3 [/ math] y va [math] xx ^ 2/2 + x ^ 3 / 3-x ^ 4/4 \ cdots [/ math] y esto converge bastante rápido, por lo que obtienes una buena respuesta sin demasiado trabajo. Y luego todo se une: aritmética rápida, lógica coherente, prueba de que todo es sonido.

Answer 2

Respuesta corta: el álgebra se trata de sumar, restar y multiplicar. Período. Los logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas requieren algo “extra”.

Al igual que con todas las áreas de las matemáticas, puede aparecer borroso en los bordes. Por ejemplo, el “Teorema fundamental del álgebra” no tiene una prueba puramente algebraica. Lo que no debería sorprender a nadie, ya que invade el análisis (cosas de cálculo) al tratar de responder una pregunta que solo puede plantearse mediante el uso de definiciones (límites / topología) específicas para el análisis.

Entonces, en el momento en que se desarrollaron los logaritmos, ciertamente no estaba del todo claro que fueran de alguna manera distintos del “álgebra”, pero en retrospectiva, los logaritmos definitivamente pertenecen al análisis.

Answer 3

Diría que los registros son la base del trigonometría y están más cerca del álgebra. Creo que Newton usó trigonométricos y logaritmos para desarrollar el cálculo. Los logaritmos hacen que el uso de álgebra exponencial sea manejable. Como sobreviviente de la era de la regla de cálculo, sé muy bien lo útiles que pueden ser los logaritmos.