¿Cuál es el valor de k en el sistema de ecuaciones kx + y + z = 1 & x + ky + z = 1 & x + y + kz = 1 de modo que el sistema tenga una solución única, soluciones infinitas y ninguna solución?

Answer 1

El enfoque es el mismo que tratar con un par de ecuaciones simultáneas, donde el valor del determinante determina el número de valores.

Si es 0, como para x + y = 1 y 2x + 2y = 5, no existen soluciones, y si una ecuación es igual a la otra, como 3x + y = 1 y 6x + 2y = 2, hay Es un número infinito de soluciones.

Para nuestro caso, para que el determinante del sistema de 3 ecuaciones sea 0, tenemos

Las soluciones para k cuando el determinante es 0 son

Cuando k = 1, las tres ecuaciones son iguales, por lo que hay un número infinito de soluciones para el sistema.

Cuando k = -2, entonces no hay soluciones para el sistema.

Answer 2

Y para todos [matemáticas] k [/ matemáticas] desiguales a uno, tienes

Tenga en cuenta que su sistema puede reescribirse como

[matemáticas] x + y + z = 1 + (1-k) x \\ x + y + z = 1 + (1-k) y \\ x + y + z = 1 + (1 -k) z [ /matemáticas]

Inferimos inmediatamente

[matemáticas] (1-k) x = (1-k) y = (1-k) z [/ matemáticas]

Y así, ya sea [matemática] k = 1 [/ matemática] o [matemática] x = y = z [/ matemática]

En este caso obtenemos [matemática] x + x + x = 1+ (1-k) x [/ matemática] y concluimos [matemática] k = -2 [/ matemática] o [matemática] x = \ frac {1 } {k + 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, todas las variables tienen valor [math] \ frac {1} {k + 2} [/ math]

Answer 3

Suma las tres ecuaciones para obtener [matemáticas] (k + 2) x + (k + 2) y + (k + 2) z = 3 [/ matemáticas] y así [matemáticas] x + y + z = \ dfrac {3} { k + 2} [/ matemáticas].

Si [math] k = -2 [/ math], suceden cosas malas y no hay solución. Si [math] k = 1 [/ math], las tres ecuaciones son las mismas, lo que da como resultado un número infinito de soluciones y, de lo contrario, hay una única solución.