Creo que la notación big-theta es similar a la notación big-O, que es con lo que estoy familiarizado. Big-O se define como
[matemáticas] f (x) = O (g (x)) \ iff \ left | f \ left (x \ right) \ right | ≤ \ left | M \ left (g \ left (x \ right) \ right) \ right | [/ math]
para algunos positivos [matemática] M [/ matemática] y para todos [matemática] x> x_0 [/ matemática]. El módulo está presente porque una función negativa de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] todavía sería [matemáticas] O (x ^ 2) [/ matemáticas].
En este caso, debemos demostrar que hay un múltiplo de [math] x ^ 2 [/ math] de modo que su valor es mayor que esta función por encima de un valor umbral de [math] x [/ math]. Si dejamos que el umbral sea [matemática] 5 [/ matemática], entonces podemos garantizar que [matemática] x ^ 2> 5x [/ matemática] para cualquier [matemática] x [/ matemática] más grande. Entonces, si elige [matemática] M = 4 [/ matemática], eso sería mayor que [matemática] 3x ^ 2 + 5x [/ matemática] para [matemática] x> 5 [/ matemática].
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Puede seguir un paso similar: elegir un umbral y un valor de [matemática] M [/ matemática] – para el último término, [matemática] 2 [/ matemática]. No existe una única respuesta correcta: básicamente, el punto de la notación big-O es dar un índice aproximado de complejidad, y el mayor valor de potencia siempre domina. Entonces, por ejemplo, es cierto decir que una función de [math] x ^ 3 [/ math] no se puede restringir de esta manera. Este es el valor de la notación big-O.
No sé si big-theta tiene las mismas restricciones exactas que big-O, por lo que esta respuesta puede estar incompleta. ¡Aunque espero que sea útil!
Editar: Bjarke Mønsted me ha informado que big-theta requiere una segunda restricción, es decir, que [math] f (x) = \ Theta (g (x)) [/ math] también requiere que [math] f (x) [/ math] sea al menos tan complejo como [math] g (x) [/ math]. No sé cómo se define esa restricción, pero me imagino que el método de prueba es comparable.