La respuesta depende de cómo defina la función de logaritmo. Señalaré que la prueba no es tan simple como parece implicar la otra respuesta. Usaré una forma típica para definir el logaritmo que nos permite completar la demostración como una manipulación directa de integrales. Si define el logaritmo como la función inversa de exponenciación como lo hace la otra respuesta, aún debe definir la operación de exponenciación y mostrar el producto [matemática] a ^ ba ^ c = a ^ {b + c} [/ matemática] usando tu definición de exponenciación. Esto no es fácil a menos que restrinja su atención solo a números racionales [matemática] b, c [/ matemática]. Establecer este resultado para el caso más general es en realidad un poco más difícil que adoptar el enfoque que uso aquí.
Primero defina el logaritmo natural de valor real:
Para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], deje que [matemáticas] \ log_e x = \ int_1 ^ x \ frac {dt} t [/ matemáticas]
Ahora defina logaritmos de otras bases en términos del logaritmo natural como:
Para [matemática] a> 0 [/ matemática] y [matemática] x> 0 [/ matemática], deje que [matemática] \ log_a x = \ frac {\ log_e x} {\ log_e a} [/ matemática]
Luego, para [matemáticas] b> 0, c> 0 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] \ log_a b + \ log_a c = \ frac {\ log_e b} {\ log_e a} + \ frac {\ log_e c} {\ log_e a} = \ frac {\ log_e b + \ log_e c} {\ log_e a} [/ math].
- ¿Cómo hago un problema de álgebra donde cada término tiene su propia desviación estándar? Por ejemplo, 88 +/- 2 dividido por 4.0 +/- .2
- ¿Cómo evalúo [math] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {1} {1 + x ^ 4} dx [/ math]?
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- ¿Cómo puedo resolver: [matemáticas] \ sqrt {x} + \ sqrt {x + 1} + \ sqrt {x + 2} = 2 [/ matemáticas]?
- En el análisis de algoritmos, ¿cómo prueba (refuta), [matemáticas] 3x ^ 2 + 5x +2 = \ theta (x ^ 2) [/ matemáticas]?
Entonces verá que la prueba está completa si podemos mostrar el caso especial [math] \ log_e b + \ log_e c = \ log_e (bc) [/ math]. ¿Ves por qué? Si se pudiera establecer este resultado, entonces podríamos hacer la sustitución en la ecuación anterior para obtener [matemáticas] \ log_a b + \ log_a c = \ frac {\ log_e (bc)} {\ log_e a} = \ log_a (bc) [ /matemáticas].
Para mostrar que el caso especial del resultado es válido, debemos usar la definición del logaritmo natural.
Considere eso para cualquier [matemática] x> 0 [/ matemática], [matemática] \ log_e x = \ int_1 ^ x \ frac {dt} t [/ matemática]. Realizaremos un cambio de variables en la integral. Deje [math] u = yt [/ math] para algunas [math] y> 0 [/ math] arbitrarias. Entonces:
[matemáticas] \ displaystyle \ log_e x = \ int_1 ^ x \ frac {dt} t = \ int_y ^ {yx} \ frac {du} u = \ int_1 ^ {yx} \ frac {du} u- \ int_1 ^ { y} \ frac {du} u = \ log_e (yx) – \ log_e y [/ math]
Y con algunos cambios, concluimos que para cualquier [matemática] x> 0 [/ matemática], [matemática] y> 0 [/ matemática], [matemática] \ log_e x + \ log_e y = \ log_e (xy) [/ matemática ] Y este resultado para [matemáticas] x = b [/ matemáticas] y [matemáticas] y = c [/ matemáticas] es exactamente lo que se necesitaba para establecer el resultado más general.
