¡Por fin tengo una pregunta sobre un error común que definitivamente me gustaría abordar!
Llegando a la primera parte de su pregunta de que si [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] puede escribirse como [matemáticas] i ^ {\ frac {4i} {4}} [/ matemáticas], sí, definitivamente puede escribir eso . No hay problema en ello.
Pero pero. El siguiente trabajo matemático es incorrecto.
Eso es una idea errónea peligrosa decir que
- ¿Existe log (-x)?
- ¿Cómo resuelvo esta integral: [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ infty} \ left \ {\ dfrac {e ^ {- \ Lambda x} -e ^ {- \ Lambda y} } {xy} \ right \} ^ 2 \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y [/ math]? [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] es un número real y positivo.
- Si [math] f (x) = x! [/ Math], entonces cuál es el valor de [math] f ‘(x) [/ math] (donde [math] x! [/ Math] representa el factorial de [math ] x [/ matemáticas])?
- ¿Cuáles son las raíces de [matemáticas] m ^ 3-7m-6 = 0 [/ matemáticas]?
- ¿Qué es 2 + 2 (2 + 2 * 0) + 2 * 0?
[math] \ large \ boxed {1 ^ {\ text {(cualquier cosa)}} = 1} \ tag * {} [/ math]
Todos ustedes deben haber encontrado esto en algún momento, muy probablemente cuando se les enseñó EXPONENTES O INDICES que
[math] \ large \ boxed {1 ^ {\ text {(cualquier cosa)}} = 1} \ tag * {} [/ math]
Entonces, veamos dónde está el error.
Vamos a evaluar [math] \ large \ boxed {1 ^ {i}} [/ math] donde [math] i [/ math] es el número imaginario .
Entonces,
[matemáticas] 1 ^ {i} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {\ ln (1 ^ {i})} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {i \ ln (1)} \ tag {1} [/ matemáticas]
Ahora representemos [math] 1 [/ math] en forma polar o compleja
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 = \ cos \ left (2k \ pi + 0 ° \ right) + i \ sin \ left (2k \ pi + 0 ° \ right) [/ math]
[matemáticas] = e ^ {i2k \ pi} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {donde} k \ in \ Z [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {Entonces de (1) obtenemos} [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 ^ {i} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {i \ ln (e ^ {i2k \ pi})} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {i ^ {2} (2k \ pi)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {- 2k \ pi} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] \ large \ boxed {1 ^ {i} = e ^ {- 2k \ pi}} [/ math]
Entonces [math] 1 ^ {i} = 1 [/ math] es verdadero solo para el valor principal, es decir, cuando [math] k = 0 [/ math]
Por lo tanto, vemos cuán poca imprecisión en nuestras afirmaciones matemáticas puede conducir a errores de cálculo graves.
Entonces, la próxima vez que encuentre esto escrito en su libro de matemáticas, simplemente haga un cambio, para la declaración [math] \ bbox [2pt, border: 2pt # 10f solid] {\ bbox [# AFA, 10px] {1 ^ {\ text {(cualquier cosa)}} = 1}} [/ math] no es cierto.
Ahora sabemos que en general [matemáticas] i ^ i = e ^ {- \ frac {\ pi} {2} (4k + 1)} [/ matemáticas] donde [matemáticas] k \ in \ Z [/ matemáticas]
Entonces, en su pregunta donde ha utilizado [matemáticas] 1 ^ {\ frac {i} {4}} = 1 [/ matemáticas] en realidad debería convertirse en [matemáticas] 1 ^ {\ frac {i} {4}} = e ^ {- \ frac {2k \ pi} {4}} = e ^ {- \ frac {k \ pi} {2}} [/ math]
En realidad publiqué este mismo problema en mi blog de Quora.
Puedes echarle un vistazo si quieres.
Rompiendo el mito … por Soumajit Das en Mad-e-matics
Por favor, rectifíqueme si estoy equivocado porque los números e índices complejos son asesinos silenciosos.
[matemáticas] \ text {¡salud!} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ enorme {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]