¿Cómo resuelvo esta integral: [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ infty} \ left \ {\ dfrac {e ^ {- \ Lambda x} -e ^ {- \ Lambda y} } {xy} \ right \} ^ 2 \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y [/ math]? [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] es un número real y positivo.

Answer 1

Comenzamos calculando la integral: [matemáticas] I = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {e ^ {- au} -1} {u} \ right) ^ 2 du [/ math]

Verificaría que la integral sea convergente a 0 y [math] + \ infty [/ math]

Integrando por partes derivando [math] u \ mapsto (e ^ {- au} -1) ^ 2 [/ math] y podemos hacerlo porque el gancho admite límites a 0 y [math] + \ infty [/ math].

[matemáticas] I = \ left [- \ frac1u (e ^ {- au} -1) ^ 2 \ right] _ {0} ^ {\ infty} – \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left (- \ frac1u \ right) 2 (-a) e ^ {- au} \ left (e ^ {- au} -1 \ right) du [/ math]

[matemáticas] = 2a \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- au} -e ^ {- 2au}} {u} du [/ math]

Está bien usar Frullani: [matemáticas] I = 2a \ ln \ left (\ frac21 \ right) = 2a \ ln (2) [/ math]

[matemáticas] J: = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {e ^ {- ax} -e ^ {- ay}} {xy} \ derecha) ^ 2 dx dy = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2ay} \ int_0 ^ \ infty \ left (\ frac {e ^ {- a (xy)} – 1} {xy} \ derecha) ^ 2 dx dy [/ math]

cambiar variable [matemática] u = xy [/ matemática] ([matemática] du = dx [/ matemática]) en

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {e ^ {- a (xy)} – 1} {xy} \ right) ^ 2 dx = \ int _ {- y} ^ {\ infty} \ left (\ frac {e ^ {- a (u)} – 1} {u} \ right) ^ 2 du [/ math]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {e ^ {- a (u)} – 1} {u} \ right) ^ 2 du + \ int _ {- y} ^ {0 } \ left (\ frac {e ^ {- a (u)} – 1} {u} \ right) ^ 2 du [/ math]

[matemáticas] = I + – \ int_ {y} ^ {0} \ izquierda (\ frac {e ^ {a (v)} – 1} {- v} \ derecha) ^ 2 dv [/ matemáticas] [matemáticas] ( v = -u, dv = -du) [/ matemáticas]

[math] = I + \ int_ {0} ^ {y} \ left (\ frac {e ^ {av} -1} {v} \ right) ^ 2 dv [/ math]

Entonces [matemáticas] J = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2ay} \ left (I + \ int_0 ^ y \ left (\ frac {e ^ {av} -1} {v} \ right) ^ 2 dv \ right) dy [/ math]

[matemáticas] = I \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2ay} dy + \ int_0 ^ \ infty e ^ {- 2ay} \ int_0 ^ y \ left (\ frac {e ^ {av} -1 } {v} \ right) ^ 2 dv dy [/ math]

Integre por parte la segunda integral derivando [math] y \ mapsto \ int_0 ^ y \ left (\ frac {e ^ {av} -1} {v} \ right) ^ 2 dv [/ math]

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2ay} \ int_0 ^ y \ left (\ frac {e ^ {av} -1} {v} \ right) ^ 2 dv dy = \ left [- \ frac {1} {2a} e ^ {- 2ay} \ int_0 ^ y \ left (\ frac {e ^ {av} -1} {v} \ right) ^ 2 dv \ right] _0 ^ \ infty – \ int_0 ^ \ infty \ left (- \ frac {1} {2a} \ right) e ^ {- 2ay} \ left (\ frac {e ^ {ay} -1} {y} \ right) ^ 2 dy [/matemáticas]

[matemáticas] = 0 + \ frac {1} {2a} \ int_0 ^ \ infty \ left (\ frac {1-e ^ {- ay}} {y} \ right) ^ 2 dy [/ math]

[matemáticas] = \ frac {I} {2a} [/ matemáticas]

Y la primera integral:

[matemáticas] I \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2ay} dy = I \ left [- \ frac {1} {2a} e ^ {- 2ay} \ right] _0 ^ \ infty = \ frac {I} {2a} [/ math]

Por lo tanto, [math] J = \ frac {I} {2a} + \ frac {I} {2a} = \ frac {I} {a} = 2ln (2) [/ math]

Answer 2

Difícil. Mi primer pensamiento es sustituir Lx y Ly como nuevas variables para obtener la constante de la integral y al frente. L significa lambda. Lo segundo es considerar un cambio en las coordenadas polares, pero no veo cómo limpiarlo. Perdón por la breve respuesta, estoy en mi teléfono en este momento.

Answer 3

No he comprobado esto, pero espero que funcione:

• Deshágase de [math] \ Lambda [/ math] mediante un cambio de variable (debería cancelarse).
• Cambie las variables de [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] a [matemáticas] (xy, y) [/ matemáticas] y el integrando debe factorizar.
• Tenga cuidado al expresar el dominio de integración en las nuevas variables.
• Integre sobre [math] t = xy [/ math] primero.

La mejor de las suertes…

Answer 4

Mathematica muestra log (4), mientras estoy tratando de encontrar una prueba.