¿Puede el [math] \ sqrt {5} [/ math] en la fórmula de Binet para Fibonacci [math] F_n = \ frac {(1+ \ sqrt {5}) ^ n- (1- \ sqrt {5}) ^ n } {2 ^ n \ sqrt {5}} [/ math] se cancela?

Answer 1

No. Es la solución de la relación de recurrencia de tres términos.

[matemáticas] F_ {n + 2} -F_ {n + 1} -F_n = 0 [/ matemáticas]

con condiciones iniciales [matemáticas] F_0 = 0, F_1 ​​= 1. [/ math] Para encontrarlo, sustituye [math] u_n = x ^ n, [/ math] que produce

[matemáticas] x ^ {n + 2} -x ^ {n + 1} -x ^ n = 0 [/ matemáticas]

o, dividiendo entre [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-x-1 = 0 [/ matemáticas]

con raíces

[matemáticas] x_ {1,2} = \ frac 12 (1 \ pm \ sqrt {1 + 4}) = \ frac 12 (1 \ pm \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

Esto te da la solución general

[matemáticas] F_n = C_1 x_1 ^ n + C_2 x_2 ^ n [/ matemáticas]

Las constantes [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática] deben determinarse a partir de las condiciones iniciales, que finalmente producen la fórmula de Binet.

Answer 2

Algo así como. Técnicamente si.

Si expresa la fórmula utilizando una suma resultante de la manipulación de las expansiones binomiales de cada uno de los términos en el numerador, los términos [math] \ sqrt {5} [/ math] se cancelan.

Considere los poderes impares de cada una de las expansiones binomiales: los términos impares involucran un término [matemático] \ sqrt {5} [/ matemático] restando un término negativo [matemático] \ sqrt {5} [/ matemático], lo que significa que esos términos No cancelar en el numerador. Esos términos tienen un término adicional [math] \ sqrt {5} [/ math] que es cancelado por el término en el denominador. Los términos pares se cancelan; los términos pares implican un poder de [matemática] 5 [/ matemática] restando un término idéntico. La fórmula podría escribirse como

[matemáticas] \ frac {1} {2 ^ {n-1}} \ Sigma_ {i = 0} ^ {2i + 1 \ leq n} \ binom {n} {2i + 1} 5 ^ {2i} [/ matemáticas]

Como puede ver, esto cancela [math] \ sqrt {5} [/ math], a expensas de ser mucho más feo y más difícil de interpretar, aparte de asegurarle que [math] \ sqrt {5} [/ matemática] los términos de hecho se cancelan.

Answer 3

No realmente en la expresión general (lo hace mucho más complicado), sino siempre en el resultado.