¿Cómo se puede resolver [matemáticas] 2 ^ x = 10x [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] 2 ^ x = 10x. [/ matemáticas]

Primero analicemos esta ecuación.

Deje [math] f (x) = 2 ^ x – 10x. [/ Math]

[math] \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) = 2 ^ x \ log 2 – 10. [/ math]

En los puntos críticos de la función, [math] f ‘(x) = 2 ^ x \ log 2 – 10 = 0. [/ Math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad 2 ^ x = \ frac {10} {\ log 2} = 14.4269. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad 3 <x <4, \ qquad [/ math] ya que [math] 2 ^ 3 = 8 \ qquad [/ math] y [math] \ qquad 2 ^ 4 = 16. [/ math]

[matemáticas] f ” (x) = 2 ^ x (\ log 2) ^ 2. [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad f ” (x)> 0 \, \, \ forall \, \, x \ in (3,4). [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] El punto crítico en el intervalo [math] (3,4) [/ math] es un mínimo.

[matemáticas] f (0) = 2 ^ 0 – 10 (0) = 1, \ qquad f (3) = 2 ^ 3 – 10 (3) = -22, \ qquad f (4) = 2 ^ 4 – 10 (4) = -24, \ qquad [/ math] y [math] f (6) = 2 ^ 6 – 10 (6) = 4. [/ Math]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La función [math] f (x) = 2 ^ x – 10x [/ math] también tiene un cero en el intervalo [math] (0,3) [/ math] como en el intervalo [matemáticas] (4,6) [/ matemáticas] [matemáticas]. [/ matemáticas]

Ahora que hemos analizado la función, podemos determinar los ceros de la función por métodos numéricos. Utilizaremos el método de Newton Raphson.

Deje que la primera estimación de x sea [matemática] x_1. [/ Matemática]

Entonces, la segunda y mejor estimación sería [matemáticas] x_2 = x_1 – \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)}. [/ Matemáticas]

La tercera y mejor estimación sería [matemáticas] x_3 = x_2 – \ frac {f (x_2)} {f ‘(x_2)}. [/ Matemáticas]

Continuamos de esta manera hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas sea menor que el error tolerable.

Para este caso particular, tomando la primera estimación [matemática] x_1 = 1.5, [/ matemática] los detalles de las iteraciones son los siguientes:

Entonces, obtenemos la solución como [math] x = 0.10775502. [/ Math]

Para la segunda raíz, tomando la primera estimación [math] x_1 = 5.0, [/ math] los detalles de las iteraciones son los siguientes:

Entonces, obtenemos la solución como [math] x = 5.87701059. [/ Math]

Answer 2

En lugar de tratar con tramas, reescribe:

x = 2 ^ x / 10 y luego intente esto, con una calculadora simple:

x1 = 1;

Conéctalo a la ecuación:

x2 = 2 ^ x1 / 10;

Entonces sigue iterando

x3 = 2 ^ x2 / 10;

etc …

En 4 iteraciones obtendrás x = 0,1078.

Sigue iterando, hasta que obtengas tantos decimales como quieras.

Apéndice:

Para obtener la segunda raíz, solo necesitamos invertir la ecuación inicial:

x = log2 (10 * x),

y haz el mismo truco:

x1 = 1

x2 = log2 (10 * x1)

x3 = log2 (10 * x2)

etc.

… En aproximadamente 8 iteraciones obtenemos x = 5.8770.

Se elige un punto de partida bastante arbitrario, pero más cerca de la solución que comenzamos, más rápido converge.

Heil al Sr. Stefan Banach!

Answer 3

Es un poco tramposo pero puedes usar

Mathematica: NSolve [2 ^ x – 10 x == 0, x, Reales]

{{x -> 0.107755}, {x -> 5.87701}}

Trazar las funciones también muestra ambas raíces:

Trazar [{2 ^ x, 10 x}, {x, 0, 6}, PlotLegends -> “Expresiones”]

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} 2 ^ x & = 10x \\ e ^ {x \ ln 2} & = 10x \\ 10xe ^ {- x \ ln 2} & = 1 \\ -x \ ln 2 e ^ {- x \ ln 2} & = – \ frac {\ ln 2} {10} \\ -x \ ln 2 & = W \ left (- \ frac {\ ln 2} {10} \ right) \\ x & = – \ frac {W \ left (- \ frac {\ ln 2} {10} \ right)} {\ ln 2} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 5

Prefiero usar una técnica de iteración para esta ecuación. Sin embargo, como hay 2 respuestas, necesitará 2 fórmulas de iteración. Vea a continuación una forma rápida de iterar fórmulas en una calculadora científica barata.

Nota: 2 ^ x = 10x en forma de registro es xlog 2 = 1 + log x (nota: log 10 = 1)

Reorganice ambas fórmulas para obtener x

Fórmula 1: 2 ^ x / 10

Fórmula 2: (1 + log x) / log 2

En ambos casos, use 1 para la x inicial

Iteración rápida en su calculadora

Usando la Fórmula 1: secuencia de teclas

1 =

2 ^ Resp. / 10

Presione = tantas veces como sea necesario

Respuesta 1 : 0.107755015

Usando la Fórmula 2: secuencia de teclas

1 =

(1 + log x) / log 2

Presione = tantas veces como sea necesario

Respuesta 2: 5.877010594

Answer 6

Esta función es trascendental.

Puedes resolverlo gráficamente:

Amplíe un poco el punto de intersección:

… y vemos que x = 0.1078 (aproximadamente).

También podría usar un método numérico como el método de Newton para acercarse.

Answer 7

Es muy sencillo.

Trace una gráfica para 2 ^ x.

Ahora en el mismo gráfico, trace un gráfico para 10x.

Si estudiamos detenidamente el punto de intersección, obtenemos

El valor de 2 ^ x será igual a 10x si ambos son iguales a 1.07755 (aprox.)

Entonces obtenemos 2 ^ x = 1.07755

Log2 ^ x = log (1.07755)

(Tome el registro de ambos lados)

x * (log (2)) = log (1.07755)

x = log (1.07755) / log (2)

Responder:

x = 0.107755

O

10x = 1.07755

x = 1.07755 / 10

x = 0.107755

Pero tenemos otro punto de intersección para estas funciones.

Observa de cerca.

Es algo cercano a 58.7701.

Después de resolver esto como los pasos anteriores, obtenemos x = 5.87701

Entonces tenemos dos respuestas para x, 0.107755 y 5.87701.

Espero que esto haya ayudado !!

Answer 8

Esta es una ecuación trascendental que se puede resolver gráficamente al trazar cada lado contra xy determinar el punto de intersección de la siguiente manera

Y1 = 2 ^ x

Y2 = 10x

La intersección de Y1 e Y2 determina la solución x.

Answer 9

Puedes usar el método de bisección – Wikipedia.

Answer 10

Trazar obtienes intersecciones de x cuadrados y 10x

X = 5.87701059

X = 0.107755015

Answer 11

El pt sería .108

Espero eso ayude…

Answer 12

Estos problemas solo pueden resolverse “numéricamente”, es decir, mediante “prueba y error”. Solo mirando el problema, noto que x = 5 da 32 en el lado izquierdo y 50 en el lado derecho, mientras que x = 6 da 64 (izquierda) y 60 (derecha), por lo que la respuesta debe estar entre 5 y 6. La siguiente prueba lógica sería x = 5.5, que resulta ser demasiado baja, por lo que debe conectar, intentando ahora quizás x = 5.75, etc., etc.
Por supuesto, si tiene que resolver una ecuación similar con bastante frecuencia, puede escribir un pequeño programa de dos o tres líneas que dé la solución casi de inmediato.