¿Qué es un método, sin trigonometría, o los pasos sobre cómo encontrar la raíz cúbica de un número complejo 8-6i?

¡Cualquier método algebraico para encontrar las TRES raíces cúbicas de 8 – 6i no sería tan bueno como usar el Teorema de De Moivre!

Simplemente siga este encantador método sencillo:

Así es como se muestran en un Diagrama de Argand:

Tenga en cuenta que hay 3 raíces cúbicas de cualquier número.

La raíz cúbica PRIMARIA de 8 – 6i es Z1 = -0.655 + 2.052i

Para obtener más explicaciones sobre este trabajo, visite mi sitio web:

http://calculusresources.weebly.com

y desplácese hacia abajo hasta Elementos en la sección Número complejo:

32. Resolver ecuaciones de la forma z ^ n = a + ib
33. Resumen especial de ecuaciones z ^ n = a + ib

Obviamente, la raíz cúbica de [math] 8- 6i [/ math] (los tres realmente) se puede escribir

[matemáticas] \ sqrt [3] {8 – 6i}. [/ matemáticas]

La pregunta que estamos haciendo es ¿esto denest? ¿Podemos escribirlo como [matemáticas] x + yi [/ matemáticas]?

La ruta obvia es a través de [math] \ arctan \ dfrac {-6} {8} [/ math] pero debemos evitar trigonometría.

Como el producto de las magnitudes es la magnitud de los productos, sabemos que la magnitud al cuadrado de la raíz cúbica debe ser

[matemáticas] \ sqrt [3] {8 ^ 2 + 6 ^ 2} = \ sqrt [3] {100} [/ matemáticas]

100 no es un cubo perfecto, por lo que no habrá una raíz cúbica súper agradable.


Probemos con otro enfoque. Estas formas de raíz cúbica aparecen en la solución al cúbico deprimido.

[matemáticas] y ^ 3 + 3py = 2q [/ matemáticas] tiene soluciones

[matemáticas] y = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}} [/ matemáticas]

Deje [math] y = \ sqrt [3] {8 + 6i} + \ sqrt [3] {8 – 6i}. [/matemáticas]

Esto da [matemáticas] q = 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] -6 ^ 2 = 8 ^ 2 + p ^ 3 [/ matemáticas] o [matemáticas] p ^ 3 = -100 [/ matemáticas] que es lo mismo problema como antes.


No es una gran respuesta, pero es difícil ir sin trigonometría. Si tuviéramos uno que reduzca, podemos avanzar más, similar a un problema de factorización.

Suponga que la raíz es de la forma (a + ib), evalúe (a + ib) ^ 3 y reúna términos reales e imaginarios, equivalen a 8 y -6i respectivamente. Resuelve para a y b. Es un poco desordenado pero no requiere más que álgebra de secundaria.